A — B AT

ce qui exige que Ton ait A^B. Il faut que rellipsoïdc relatif au point O soit de révolution autour de son petit axe, actuellement dirigé suivant Taxe des x et auquel se rapporte le moment A. U existe alors deux points O' et Oi , symétriques par rapport au point O et situés à une

distance de ce point égale à i/ •

M 532. Prenons pour exemple Tellipsoïde,

On a vu (518) que, M étant la masse de cet ellipsoïde, les moments par rapport aux axes sont

B = iM(«'+c»),

Or le centre de rellipsoïde est son centre de gravité et ses axes sont les axes principaux d'inertie; car on a évidemment pour ce point

\ mxf = 0, \ mxz = o , \ mjz = o.

Supposons a<^b^ alors A^B, et pour qu'il existe un point O', il faut qu'on ait B = C, c'est-à-dire b=zc. Donc l'ellipsoïde doit être de révolution autour de l'axe OA. 11 y aura donc deux points répondant à la ques*

X4a COUaS DB MÉCANIQUE.

tion, situés sur le plus petit axe et à des distances de

Torigine égales à ± i/ — ■= — •

Ces points seront en dedans ou en dehors de Tellipsoïde^ suivant que Ton aura — -z — $a* ou b^a\f6. Ds

seront aux extrémités du petit axe, si Ton a i = a yjS,

MOUVEMENT DE EOTÀTION d'uN SYSTÈME SOLIDE ÀDTOUR

d'un axe fixe.

533. Dans un pareil mouvementj tous les points du système décrivent des arcs de cercles semblables, dont les rayons sont leurs distances à Taxe. Ces rayons décrivent autour de l'axe des angles égaux, dans un même temps. Tous les points situés à la même distance de Taxe ont i chaque instant la même vitesse, çt celle des points situés a une distance égale à Tunité est ce qu on appelle la vitesse angulaire ou de rotation du système. Nous la désignerons par tù : c*est généralement une fonction du temps. La

vitesse --r d'un point quelconque est proportionnelle a sa

distance r à Taxe, et par conséquent elle est représentée par rct). En effet, soient ^5 et daXes arcs infiniment petits parcourus par le point considéré et par un autre point situé à Tunité de distance de l'axe; ces arcs étant semblables, on a

dsz=zrdQ^

et par suite

ds da

ik dt

534. Un mouvement de rotation est dit uniforme quand la vitesse de rotation est constante. Ce mouvement a lieu lorsque les points du système 11e sont sollicités par aucune force motrice ou par des forces motrices qui se font équilibre autour de Taxe fixe.

quàhâmtième leçon. i43

En effet, soit P la force motrice d'un point m, qui décrit autour de l'axe Oz un arc de cercle MmM' d'un rayon Km = r. La force qu'il faudrait appliquer à ce points s'il était libre, pour lui donner son mouvement effectif, c'est-à-dire pour lui faire parcourir l'arc M/wM', est la résultante de deux forces : l'une la force tangentiellc

m -r ou dt

d(ù dt '

l'autre, la force centripète, dirigée suivant le rayon /wK :

m - ou lw^û>^

Fig. i6i.

Décomposons la force motrice P en deux autres, l'une

Z, parallèle à l'axe O^, et l'autre Q, située dans le plan du cercle MM^ à une distance KL = ^, de l'axe Oz.

D'après le principe de d'A- Icmbert, toutes les forces motrices du système font équilibre, à chaque instant, aux forces effectives prises en sens contraire. Mais, pour tous les points du corps, les composantes mrot>' et Z sont toujours détruites par la résistance de Taxe fixe. D'ailleurs les autres composantes étant dans des plans perpendiculaires à l'axe, il faut et il suffit que la somme de leurs moments par rapport à celui-ci soit nulle, d'où résulte

2„,..^=.^Qy,

ou, puisque — est le même pour tous les points du système,

dîA dt

l44 COURS DE MÉCANIQUE.

et, par conséquent,

Cette équation détermine la vitesse angulaire à une époque quelconque. C'est Téquation du mouvement. * Ou en déduit que si les forces motrices sont nulles, on a

--- = o ou 0) = constante. Le mouvement est donc uui-

dt

forme.

Il est encore uniforme quand les forces se font équilibre autour de Taxe; car ou a dans ce casN Q^ = o,

et comme N mr^ n'est pas nulle, on aura •— = o , et la vitesse angulaire o) sera constante.

QXriBAKTE ET ORtElIB LEÇON.

' MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D'UN AXE (suite).

Cas où ]e corps est mis en raoaTement par des percussions. — Calcul des percussions exercées sur ]*axe fixe. — Cas où l'axe n'éprouve aucune percussion. — Condition pour qu'il n'y ait de percussion qu'en >in point de l'axe.