IF
On a ensuite
dx dy
— = — JM, — =x«,
d'^.T. dfù dy d^.T d» ,
dt^ -^ dt dt dt^ ^ dt
d^y dtù dx d*r dtù
dt* dt dt fU^ dt "^
Si Ton porte ces valeurs dans les six équations qui pré-
QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON. iSp
• cèdent, on aura, en désignant par (x,, j'i, ^i) les coordonnées du centre de gravité du système et par M sa masse,
> X -^ — M.r, -+- »»' Mx, 4- X, -h X, = o,
-+- w^M^-i-h Y, -hY,z=o,
\ (Z^- — Yz) 4- ^ N wxz -I- w'\ wjz — YJi — o, \ (Xz — Z.r) H — T- \ wj« — 6)' \ /Tîxz 4- Xj// : : o, ^(Yx-Xr)-55;-..rV-^o.
553. De ces six équations, la dernière ne contient pas les composantes des résistances R] etR,. C'est réquation du mouvement déjà trouvée.
Quand on saura intégrer cette équation , les équations 4* et 5** du système (3) feront connaître Xj et Y,, dont les valeurs sont, comme on voit, en raison inverse de h, La raison en est que Xf /i et Y^h sont les moments des couples qui résulteraient de la translation, au point O, des composantes Xs et Ti de la force Rf Or ces moments doivent être indépendants de la position du point H, puisque chacun de ces couples doit détruire d^autres couples qui en sont eux-mêmes indépendants. Les composantes Xt et Y, étant connues, on aura X] et Yi par les deux premières équations du système, et la suivante donnera Zi + Zj sans déterminer en particulier aucune de ces composantes. En effet, comme on Va vu ailleurs, au lieu d'appliquer les deux forces Zi et Zf aux deux points O et H, il revient au même d'appliquer la force unique Zi -f- Zi au point O.
ifio COURS DE MÉCANIQUE.
CAS OU IL h'y a pas de forces motrices.
554. Dans le cas eu il n*y a pas de forces motrices, X, Y, Z sont nulles pour tous les points du corps, et l'équation (a) du n° 550 donne — = o, et o) = const., ce que Ton sait déjà. Le système (3) se réduit alors i
Aj ::^ — — > mxz j
Xtz= -p y mxz — w' Mx, ,
Y, = -T- N mjrz — «»Mj
Z, -4-Zj = 0.
Cette dernière équation montre que les résistances R, et Ra se réduisent à deux forces perpendiculaires à Taxe, puisque leurs composantes parallèles à cet axe donnent une somme nulle.
Il est aisé de voir que les résistances R| et Rt font équilibre aux forces centrifuges de tous les points du corps qui agissent sur Taxe perpendiculairement à sa dî-> Tcction. La force tangenticlle est nulle pour chaque point. D*après les formules (i), les résistances sont proportionnelles au carré de la vitesse constante o).
555. Le point H n'éprouve aucune pression si Xf et Yt sont nulles, et pour cela il faut et il suffit qu'on ait les deux conditions
(2) \ mzz=zOy \ mxz = o,
c'est-à-dire que Taxe Oz soit un des axes principaux relatifs au point O. Donc, si un corps retenu par un seul
QUARÀNTE-DEtlXlÈME LEÇON. x6l
point fixe commence à tourner autour d^un des axes principaux relatifs à ce points il continuera à tourner uniformément autour de cet axe commue s* il était fixe. Le système (i) donne encore
donc
Ri = «'Ma y
a étant la distance du centre de gravité à Taxe. On a de
plus
ce qui fait voir que la force Ri ou la pression sur le point O est dirigée dans le plan 2OG qui passe par Taxe Oz et par le centre de gravité G. C'est ce qu'on trouverait aussi en prenant ce plan pour le plan zOx à Tinstant que Ton considère.
S56. Il peut se faire que le point O ne supporte aucune pression. Alors Taxe n'en éprouve aucune. Il faut et il suffit pour cela que Xj et Yi soient nulles, et par conséquent que Xi et j^i soient nulles. Ainsi le centre de gravité doit être sur l'axe de rot&tion, et alors le mouvement ayant commencé autour de cet axe, supposé fixe, continuera uniformément autour du même axe lorsqu'on le rendra entièrement libre. L^axe de rotation est alors un axe principal pour tous les points de sa direction.
CAS oc LES FORCES MOTRICES SE RÉODISESIV A VS COUPLE.
5o7. Les conséquences précédentes subsistent quand les forces motrices se réduisent à un couple situé dans un plan perpendiculaire à Taxe. On a dans ce cas
\(Zy — ^z)=o, S{Tiz — Zx)=o.
Stcmi. — ilée., II. 1 1
l6a COURS DE MÉCAlîIQUB.
Pour que le point H n'éprouve aucune pression, il faut que l'on ait Xt = o, Y, = o, Z, = o. Les équations 4* et S*' du système (3), n^ 551, donnent
En éliminant entre ces deux équations — > on a »* I ( \ mxz \ -^i/ w/a J I = o
\ mxz = o , \ myz = o.
Ainsi Taxe de rotation doit être un des trois axes principaux d'inertie relatifs au point O. Alors les trois premières équations du système (3) feront connaître les composantes Xi, Yi, Zi de la pression exercée sur le point O, pression perpendiculaire à Taxe, car Zi = o. Si à une époque quelconque cet axe cesse d'être fixe et que le corps soit seulement retenu par le point O, il continuera à tourner uniformément autour du même axe.
558. Pour que le point 0 ne soit pas pressé, il faut que Xi, Yi, Zi soient nulles. Alors les deux premières équations du système (3) , n^ 552, donnent
ou
7i-7r-+-«'j?i=o, ^^1-77 4-«*ri = o>
d OU, en éliminant -r-'i
at
on a donc
«1 = 0, ji = o
et le centre de gravité est sur Taxe Oz qui est un des axes principaux pour ce point, et par suite pour tous les points de cet axe. Donc si un corps commence à tourner autour de Vun des axes piincipaux qui se rapportent à son centre de granité et qu'il soit sollicité constamment par un couple situé dans un plan perpendiculaire à cet axe, son mouvement se continuera sans altération, lors même que cet axe serait entièrement libre.
On voit que le système jouît des mêmes propriétés que dans le cas où il n'y a pas de forces motrices.
559. Si Oz n'était pas l'un des axes principaux relatifs au point O, ce point étant seul fixé, la pression au point H ne serait jamais nulle, et le corps ne continuerait pas à tourner autour de Oz, On voit par là qu^un corps retenu par un point fixe O et sollicité par un couple ne tend pas à tourner autour d*une perpendiculaire Oz au plan de ce couple, à moins que cette perpendiculaire ne soit Tun des axes principaux relatifs au point O.
HOUYEMENT DU TREUIL.
560. Considérons un treuil sollicité par le poids de deux masses m et m' agissant au moyen de cordes la
Fig. i65.
première sur la roue OC, la seconde sur le cylindre OC. Nous tiendrons compte de la masse du treuil; mais nous négligerons le poids des cordes et le frottement des tourillons sur les coussinets. Soient x ei xf les distances des centres de gravité des masses m et m' aux points C et C D'après le principe de d'Alembert, nous devrons regarder deux forces respectivement égales à m(f -~^V
l64 COURS DE MÉCANIQUE.
m ig -jy j 1 comnie appliquées en m et en m suivant la verticale et tirant de haut en bas. Ce sont les forces perdues relatives à ces deux points.
Considérons une molécule du treuil, de masse f/, à une distance rde Taxe. Si o) est à Tépoque actuelle la vitesse angulaire du système, la force effective du point {i se
compose de sa force tangentielle l*-''-^ et de sa force centripète [ir^cù qu'il faut prendre toutes deux en sens contraire. Mais la force centripète perpendiculaire à Taxe Cxe est détruite par la résistance de cet axe. Le poids du treuil est aussi détruit, parce que son centre de gravité se trouve sur Taxe lixe^ à cause de la symétrie du treuil autour de son axe.
Donc, si nous faisons OC = c, OC = c', et si nous . exprimons que la somme des moments par rapport à Taxe des forces motrices du système et des forces effectives prises en sens contraires est nulle, nous aurons, d après le sens suivant lequel les forces tendent a faire mouvoir leurs points d^application,
[^'^'dF)'-"' [^--dFj'—dFZ^''^''
561. Les dérivées des deux variables x ei ccf peuveât être exprimées au moyen de la vitesse angulaire. En effet, d'après le sens du mouvement, la vitesse du point m est égale à celle du point C; mais la vitesse du point m' est égale et de sens contraire à celle du point C^ On aura donc
dt - ^"'
et, par suite,
d^T dfù ■
dt^ "^ dt*
rf'y ,dtù dt^ "" ^ dt
QUARÀKTE-DEUXIEMB LEÇON. l63
Désignons par MA* le moment d'inertie du treuil par rapport à Taxe, M étant la masse du treuil. L'équation du mouvement (i) deviendra
d'où Ton tire
di M A^ -^ mc^ -¥- m' e' d*où Ton déduit, en supposant la vitesse initiale nulle, (3) ^^ge(mc-^m'^)
La vitesse est donc proportionnelle au temps, et le mouvement est uniformément accéléré. L'accélération est à la pesanteur comme me — m'c' est à MA* + me* -h m' c'*.
Si l'on avait me = m'c'j la vitesse angulaire serait nulle et le corps resterait en repos. En effet, c'est la condition pour que les poids m et m' se fassent équilibre. S*il y avait une vitesse initiale, le mouvement serait uniforme.
562. Les tensions des cordons ne sont autre chose que les forces perdues. Appelons-les T et T', nous aurons
Remplaçons — par sa valeur tirée de l'équation (a),
puis introduisons à la place des masses m, m/ et M les poids correspondants que nous désignerons par/; , p' et P.
l66 COURS DE MÉCAKtQCR.
Nous aurons
l^k^-\-pc^ + p'd^
Si le système tourne dans le sens indiqué par la figure, on a pc > p'c\ puisque co est plus grand que zéro. On a dans ce cas T <; p^ T' > p'. Ces tensions sont constantes pendant le mouvement.
o63. La pression totale cj exercée sur Taxe du treuil résulte des forces qui se font équilibre autour de lui en y comprenant le poids du treuil. Les forces centrifuges des points du treuil se détruisent mutuellement et ne pressent pas l'axe à cause de la symétrie. On a donc
ou
(pc^p'c'Y
BT =- P -f P-^- P* —
Vk^-^pc*-\-p'd^
561. On peut déterminer le mouvement du treuil sans recourir au principe de d'Alembert, mais en introduisant les tensions T et T', Il suffit d'éliminer T et T' entre les cquations (4) et la suivante :
OU
dtià
dt '
donnée par la théorie du mouvement de rotation autour d'un axe fixe. On retombe ainsi sur Téquation (2).
quâhante-troisième leçon.
