PENDULE COMPOSÉ RAMENÉ AU PENDULE SIMPLE
566. Au lieu d'intégrer Téquation (2), il est préférable de comparer le mouvement du corps pesant à celui d^un pendule simple. Si le corps se réduisait à un point matériel pesant lié à un axe par une droite rigide dont on pé-
qtjahantr-troisième leçon. 169
glige la masse et de longueur /, réquation du mouvement serait
(I) + Çsinô = o
qui se dëduit de Téquation
en faisant A = o, a=L Supposons la longueur / déterminée par réquation
d^OÙ
Alors le pendule composé ou plutôt la droite AG et le pendule simple auront le même mouvement angulaire,
pourvu que les valeurs initiales de 0 et de — soient les
mêmes pour ces deux corps. Ainsi, lorsqu'un corps tourne autour d^un axe fixe et horizontal, on peut toujours assigner la longueur d'un pendule simple dont le mouvement soit le même que celui du corps, quelle que soit d'ailleurs l'amplitude des oscillations. Si celles-ci sont très-petites, la durée d'une oscillation sera donnée par la formule
=Vi'
qui pourra servir à déterminer g à l'aide du pendule composé, connaissant seulement la distance du centre de gravi té du corps à l'axe de suspension et le moment d'inertie du corps par rapport à un axe parallèle à Taxe de suspension mené par le centre de gravité.
AXE D OSCILLATtOIl.
567 . Si dans le plan passant par F axe et par le centre de graifité du pendule on mène une droite IBI' parallèle
à cet axe et à une distance de celui-ci égale à I, chaque point de cette dmite se mouvra comme 5*i7 ne faisait pas partie du corps et quil fût simplement lié à Paxe par une droite rigide et sans masse*
Cette propriété résulte immédiatement de l'identité du mouvement du pendule composé et d'un pendule simple dont la longueur est Z. Il n'en est pas de même des autres points du corps plus rapprochés et plus éloignés de Taxe. Ces derniers oscillent plus vite et les premiers oscillent plus lentement que s'ils n'étaient pas liés aux autres points du corps.
La droite VSi! est nommée Vaxe d* oscillation du corps, correspondant à Taxe de suspension Oz. Le point Bde cette droite situé sur la droite ÂG perpendiculaire à l'axe de rotation se nomme centre d^ oscillation. On l'obtient
en prolongeant AG d'une longueur égale à — »
568. Les axes d^ oscillation et de suspension sont reciproqueSj c'est-à-dire que si Ton faisait osciller le corps autour de II', Taxe de suspension primitif Oz deviendrait l'axe d'oscillation. En effet, les distances du centre de gravité à Taxe de suspension et à l'axe d'oscillation donnent un produit égal à A*. Donc si Ton prend cette dernière ligne droite pour axe fixe, la première deviendra l'axe d'oscillation. La longueur du pendule simple, qiu fait ses oscillations dans le même temps, sera la même qu'auparavant et son mouvement sera le même.
QUARANTE-TROISIEME LEÇOM. I7I
569. Diaprés ce principe, étant donné Taxe de suspension d'un corps, on peut trouver, par l'expérience, l'axe d'oscillation correspondant. Il faut, pour cela, mesurer la durée des petites oscillations d'abord autour du premier, puis autour de différents autres axes parallèles, jusqu^à ce que le temps de ces oscillations soit de nouveau le même. La distance des deux axes de suspension sera la longueur désignée par / et fera connaître l'axe d'oscillation relatif au premier axe de suspension.
570, Il y a une infinité d'axes autour desquels les petites oscillations sont de même durée.
D'abord k valeur de / et la durée des oscillations sont les mêmes pour tous les axes de suspension parallèles entre eux et situés à égale distance du centre de gravité, puisque k eia sont les mêmes pour tous ces axes.
Ensuite, nommons A, B, C les trois moments d'inertie principaux relatifs au centre de gravité G, et appelons a, 6, 7 les angles que Oz fait avec les axes principaux du point G. Le moment d'inertie par rapporta GH, droite parallèle à Oz, étant représenté par MA*, on a
MA2= Acos'a-hBcos'e -i- Ccos*'/, et par conséquent
l=za'Jr
A ces» g -f- B cos'6 -I- C cos^y
Ma
On peut faire varier a, «, 6, y de manière que / reste constante. Il y a donc une infinité d'axes autour desquels la durée des petites oscillations est la même.
AXE nB LA PLUS COURTE OSCILLATION
571. On peut se proposer de trouver Taxe autour duquel la durée d'une oscillation est la plus courte ou pour
lya COUnS DE MÉCANIQXTB.
lequel la longueur /est la plus petite. Supposons que Ton
ait
On sait que la plus petite valeur de
A cos*a -h B cos'6 -+- C cos"7
est A. Il faut donc faire d'abord
d'où
Ma
Il en résulte que Taxe de suspension est perpendiculaire à Taxe du plus petit moment d'inertie relatif au centre de gravité. Ensuite, pour obtenir le minimum de /,
il faut égaler à zéro — j ce qui donne
On a un minimum, parce qu'en faisant varier a, -r- ne
s'évanouit qu'une seule fois en passant du négatif au positif.
QUARAMTE-QUATEIÈME LEÇON. IjS
