MAXIMUM ET MINIMUM DE LA VALEUR DE

581. Si Ton égale à zéro le polynôme sous le radical, on aura la plus grande ou la plus petite valeur de z quand t varie. Cette équation,

(i) (/» — z»)(z--z.4-^0 — (/» — «i)^,cos'««=ro.

l8o COURS DB MÉCANIQUE.

étant du troisième degré, a au moins une racine réelle. Mais, par la nature du problème, z ne peut avoir un maximum sans avoir un minimum et vice versd. Donc les trois racines doivent être réelles. En efTet, si dans ce polynôme on attribue à z les valeurs

on trouve

d'où Ton voit qu'il y a trois valeurs réelles de z qui réduisent à zéro ce polynôme : une première a comprise entre / et z,^, une seconde b comprise entre Zo et z^ — A, et une troisième négative — c entre — /et — oo , de telle sorte que c est^/. Ainsi Ton a en décomposant le premier membre en facteurs

(r - z») (z -Z,-h /lo) -{l'-zDh, COS'fio

= {a — z){z — Z> ) (2 + c), d'où, en développant et comparant,

a -\- b — c :=Zo — ^1,

(a -h b)c — ab = /%

aôc = (/» — «J)A,cos*«o -!-/*(«• — A«).

On tire de la seconde équation

n-hab

puis de la première

lu — 2g=c — a — b = 9

et de la troisième

(/»-zî);>.cos»..= <^'-'"^'^:-*'> = -^-

QUARANTE-QUATRIÈME LEÇON. l8l

Par suîie Téquation (7), n®580, devient

±:ldz (2) dt--=

La variable z restera comprise entre a et b, comme sa

valeur initiale ro, car si Ton supposait que z devînt }> a

dz ou < i, la valeur de — deviendrait imaginaire. Ainsi a

sera la valeur maximum de jz et & sa valeur minimum. Si d'abord on prend z^^b, quand t croîtra, z croîtra depuis b jusqu'à a^ et deviendra égale à a au bout d'un temps t' égal à l'intégrale de la valeur dt prise depuis 2=6 jusqu'à 2 = a. Ensuite, après ce temps t\ z décroîtra en allant de a à £ dans un intervalle de temps égal à t'. Puis z croîtra de nouveau de & à a dans un nouvel intervalle de temps égal à t'^ et ainsi de suite. De sorte que z est une fonction périodique de f, dont la période est 2t^