Soient A [xyjr.z), A'(x',jr\z'), A''(.^^J

les centres de grai^ilé de plusieurs corps dont les poids sont rcspcclii^ement p, p', /?'',..., et O le centre de gravité du système de ces poids; posons OA= r, OA'=r', OA''=r%... :

si Von applique suii^ant OA,

OA', OA'',. . . des forces pr^ p'/'S P^f^y* • • t ces forces referont équilibre.

En efTet, menons par le point O trois axes rectangulaires. Puisque le plan z Ojr passe par le centre de gravité, on aura (57)

(l) pX-\- p'af -^ p^x" -{- ,, .TTrO,

Or on a

j-=:rcosa, x'=:r'cosa', x" = r" co^ql" ^ , , , ^

a, a', a'^, . . . étant les angles que OA, OA', OA'', . - . font avec Taxe des x\ donc

(2) /^rcosa -l-/^'r'cosa'4-/?''r"cosa*4-. . -::= o.

Mais prcosa, p'r'cosa', p^r'^^cosot",. . . sont les composantes des forces /7r, p'r'^, . . estimées suivant l'axe Ox. Donc, comme la somme algébrique de ces composantes est nulle, quelle que soit la direction de cet axe, les forces pr^ p'r\ • • • ? appliquées suivant OA, OA', . . . , se font équilibre (22).

59. On conclut de là que, si les poids appliqués en A. A', A"', ... 30/if égaux, des forces appliquées au point O et représentées par les droites OA, OA', OA", . . . se font vquilibre,

60. Réciproquement, si des forces appliquées en un même point O, et représentées t en grandeur et en direc^

QUATRltME LEÇOir. 33

tion, par OA = r, OA' = r', OA" = rf ,. .., se font équilibrcy des corps ayant tous des poids égaux à p, et leurs centres de grauité aux points A, A', A",. . . , formeront un système dont le centre de grav^ité sera au point O.

En effet, puisque les forces se font équilibre, on a

(i) rcosa 4-r'co5a'-4-r"cosa''-f-. • .-- o;

par suite

(2) prcosct -t- /?/•' cos a '-T- /?/•*' CCS «"-t- . . .n^io,

ou bien

px -f-/jy -^-px" -^ . . .=: o.

Mais si P désigne le poids du système, et :r|, y,, z^ les coordonnées du centre de gravité, le premier membre de la dernière équation est égal kVxx. Donc

Ou démontrerait de même que Ton a

(4) ri~o, «, — 0;

donc le point O est le centre de gravité du système.

61. Soient A (x,j, z), A' [x^f, z% A" [x",y\ z"),... PI jj les centres de gravité de divers

poids ;?,/?',//,.,., et G (xj,ji,z,) le centre de gravité du système, G* les axes étant menés par uu point

quelconque. Posons

OA m r, OA' -- r\ OA^^r"...., OG — r..

On a, comme nous Favons vu (56) ,

IPx, z=zpx'\'p'x' -\- p" x" -^ - . Pj, =px +y// ^^p^jr' -r- . . . , P «, z=pz -!-/>'/ "rp^z H . . . Stcrm. — Méc,^ I. 3

34 COURS DE HÉCÀZIIQUB.

Élevant ces trois équations au carré et ajoutant, on a

Or on a aonc

2 (j»'4-r/ 4- m') = r«+r'»— AA' ,

et de même

2 (xx' 4- jr^'' 4- M*' = r» 4- r*'* — AA'' \

et ainsi de suite.

Donc

P'rJ =:/?'r» 4- p'^ r'* + p"* r"» 4- . . .