Considérons toujours un système de points en
mouvement pour lequel le principe des aires a lieli, en
Fig. 169. prenant pour origine un
point O fixe ou mobile suivant les conditions établies précédemment, et proposons -nous de trouver un plan tel, que la somme des produits des masses par les aires que décrivent les projections de leurs rayons vecteurs sur ce plan soit un maximum.
Le rayon vecteur Om du point m décrit une surface conique dont l'élément mOn est dans le plan tangent* Soit da cet élément et appelons a, 6, y les angles que la perpendiculaire OD à son plan fait avec les axes coordonnés Ox, Oy^f Oz, Désignons par &> Taire décrite par la projection du rayon vecteur O /ri sur un plan quelconque P, perpendiculaire à une droite qui fait avec les axes les angles A, 6, C. En appelant Q Tangle DOE, ou Tangle que le plan de l'aire da fait avec le plan de projection P,
on a
dta = dacosBf
puisque d(ù est la projection de ^c7 sur le plan P.
D'ailleurs les projections de da sur les plans xOy, xOz, jrOz sont dly dï!^ dV^ et l'on a
et
c?X"=rfffcosa, fl?V=:c?(7C0s6, dX =zd a cosy
cos9 =: cosacosA -h cos6 cosB -i- COS7 cosC. Sniuf. — Méc., II. i4
En multipliant cette dernière par da et ayant ^ard aux équations précédentes, on aura
dtù = ^X"cos A -h f/VcosB 4- d\ cosC,
d'où
6> ;= X"cos A 4- X'cosB -+- \ cosC;
par conséquent
\ »i« = cosA\ iwV' + cosBN lîiV-i-cosCN mX.
Mais on sait que (609)
donc on a
(i) \ m« = (c^'cosA -f- c'cosB-HccosC)-•
Dans cette équation, le coefficient de t est constant,
le plan P étant donné.
Posons
On peut écrire
(a) \ ww = ( T cos A 4- -r cosB -f- j cosC ) - /.
Il est permis de regarder t' r' 7 comme étant les cosinus des angles formé&par une certaine droite OF avec les axes coordonnés, droite dont la direction est indépendante de la position du plan P. Par conséquent, si nous concevons un plan tt perpendiculaire à OF, la position de ce plan ne dépend pas non plus de celle du plan P. Or f étant Tangle EOF ou Tangle des plans P et tt, od a
ces» =: -7- cos A -i- — COsB -h - COSC, A" A' A'
par suite
(3) \ ww = - kt cosç.
Ainsi la somme des aires décrites sur le plan P, multipliées respectivement par les masses des points correspondants, est égale au produit de - A^ par le cosinus de l'angle
des deux plans P et tt.
Comme la quantité k ne dépend pas de la position du
plan P, Téquation (3) montre que la quantité \ mtù est
maximum lorsque f est égal à 90°, c'est-à-dire lorsque le plan de projection P coïncide avec le plan ir. On a alors
Il existe donc un plan fixe tel, que la somme des aires décrites pendant un temps quelconque par les projections des rayons vecteurs des points mobiles sur ce plan, muU tipliées par leurs masses, est plus grande que pour tout autre plan de projection. Ce plan est toujours le même, quel que soit le temps écoulé. On l'appelle pour ces deux raisons plan du maximum des aires ou plan invariable. Son équation est
c^x •+- dj -f- c« = o
et la somme \ /no) relative à un autre plan de projection
se déduit de celle qui se rapporte au plan tt, en la multipliant par le cosinus de Tangle des deux plans.
Ce plan est le même que celui du couple résultant des quantités de mouvement du système solidifié, qui a été déterminé précédemment (602).
aia COURS de mécamque.
QUARANTE-nUITIÈME LEÇON.
