DES FORCES VIVES DANS LE MOUVEMENT D'CN SYSTÈME

Principe des forces vives. — Autre démonstration. — Cooséqueoces da principe des forces vivei. — Des forces vives dans un système à liaisons complètes. — Des forces vives dans le mouvement relatif.

PRinClPE DES FORCES VIVEâ.

615. Considérons un système de points m, m\ m'', . . .', sollicités par des forces P, P', P'', . . . , dont nous désignerons les composantes parallèles à trois axes rectangulaires par X, Y, Z, X', Y', Z', . . . . En combinant le principe de d^Alcmbert avec celui des vitesses virtuelles on oblieut Téquation

Les liaisons du système étant exprimées par un certain nombre d'équations

(2) Lr=o, M = o, N = o,...,

qui doivent être satisfaites, à une époque quelconque, par les coordonnées des points du système et par ces coordonnées après un déplacement virtuel, il eu résulte (489) que les variations des coordonnées sont assujetties à satisfaire aux équations suivantes, dans lesquelles le temps est

' QUARANTE-nUITlÈME LEÇON. 2l3

supposé constant :

dx djr '' dz dx'

(7) / d^\ dM ^ dM . ^M^ ,

dx dx dz dx

D'un autre côté, dans le mouvement effectif du système, les coordonnées des points devant satisfaire aux équations de condition (2), on a, en différentîaut celles-ci par rapport à f, variable indépendante,

dJa ^ dL ^ dL ^ r/L ^ dh ^ ,

—r- dt -f- -7- dx -f- — — dr H — — dz -f- —,-- dx'-h. . .= o, dt dx dy '' dz dx!

{^){dU^ rf^I £/IVI rfM , dVL ^ ^

dt dx dy -^ dz dx'

On a déjà expliqué la distinction essentielle qui existe entre les variations dx, dj^, dz, qui répondent à un déplacement virtuel du point M, et les différentielles dx^ dy-j dzj qui se rapportent au déplacement réel que prend ce point, dans le mouvement général du système. Supposons que les équations de condition ne renferment pas le temps explicitement. Alors les dérivées partielles

— t — T-5"-> étant nulles, les équations (3) et (4) mou-

trent qu'on pourra faire

^x=zdx^ ^y=.dy^ Sz=:dZf èx* =dx\ n , • ,

Ainsi, parmi tous les déplacements virtuels, compatibles avec les liaisons du système, il sera permis de choisir celui qui se rapporte au mouvement réel de chaque point. Alors l'équation (1) deviendra

21 i COURS DE MÉGÀNIQrE.