A UN PLAN
643. Supposons d'abord que les trajectoires de tous les points du corps S soient contenues dans des plans parallèles à un plan donné qui sera le plan des a^y; nous pourrons prendre pour 0| Xi et 0|^| deux droites de S qui se trouvent à un certain moment dans le plan des xy et qui n'en sortiront pas; la coordonnée y sera toujours nulle, et la direction des droites mobiles sera déterminée par Tangle ç de 0| a?! avec Ox. Soient, à l'époque /, Xjj'j zles coordonnées d'un point M de S, x^yJ'^^ z^ ses coordonnées invariables relativement à Oix^, Oi^'i,
OiZi] on a
jr = a H- .rj cosy — fi siny,
7 = S -+- vCj siny -h Jicosy,
Les projections de la vitesse du point M sur les axes fixes seront
, , . dr dâ . , .do d^ , . do
[i \ ^~-i-4- {X4COS9— j, sm(p)-7-= -7- -h (x— a,— 9
^ dl
Si Ton pose
dt ^ dt ^ dt dt dt dt
les projections de la vitesse prendront la forme
^ ' dt ^-^ ^ ' dt de ^ ' dt dt
Ces formules montrent qu'à l'époque t la vitesse du point quelconque M est la même que si S tournait avec
dm
la vitesse angulaire autour d'une droite IR perpen-
diculaire au plan donné et représentée par les équations a: = a',^ = p'. Comme a' et P' varient avec le temps, les vitesses à l'époque t -{-dt seront les mêmes que si S tournait autour d'une droite l'K' très voisine de IK.; le mouvement de S revient à une rotation autour de IK, mais seulement pendant un élément de temps, et pourvu qu'on n'ait égard qu'aux vitesses, non aux accélérations ; IK, FK' sont des axes instantanés de rotation.
644. Les droites de l'espace autour desquelles le solide tourne successivement forment un cylindre C; de même les droites de S qui doivent tour à tour coïncider avec les premières et être momentanément immobiles sont sur un cylindre C| qui fait partie de S. Soitli K| la droite qu'une rotation infiniment petite autour de IK doit amener en coïncidence avec FK'; les droites l'K' et I| K, sont à une distance infiniment petite du deuxième ordre et les bandes IKFK', IKI|K| sont superposables ; donc C| est toujours tangent à C et roule sur lui sans glisser, et l'on donnerait à S le mouvement fini qu'il possède réellement en le supposant lié à un cylindre qui roule sur un cylindre fixe.
Pour obtenir l'équation de C, il suffit d'exprimer que
c'est le lieu des points de Tespace avec lesquels coïncident des points de S dont la vitesse est nulle à un certain moment; en nous reportant aux équations (i) (643), on voit qu'on aura à éliminer t entre les équations
a, p, (f étant connus en fonction de t. L'équation de C| s'obtient en éliminant le temps entre les équations
fiu , . . df
— — (xi8my-f-riCos«p) ;^ =0,
dS d<p
^-f-(xicosy-risinî-) ^^ ^o.
645. Le mouvement d'une figure plane qui se meut dans son plan est un cas particulier de celui que nous venons d'étudier : à une époque quelconque t la figure peut être regardée comme tournant pendant un temps infiniment petit autour d'un centre instantané de rotation I ; la vitesse du point M de la figure est proportionnelle à IM et perpendiculaire sur cette droite, en sorte qu'il suffit de connaître les normales aux trajectoires de deux points pour trouver le centre instantané à leur intersection.
Soient L, L'deux positions infiniment voisines d'une ligne entraînée avec la figure mobile, E un de leurs points d'intersection ; le point E, coAsidéré comme faisant partie de L, est amené par la rotation autour de 1 en un point E' de L' : donc El est normale à L', et comme à la limite E est l'un des points où L touche son enveloppe, on voit que ces points sont les pieds des normales abaissées du centre instantané sur la position correspondante de l'enveloppée.
Le mouvement continu de la figure mobile s'obtient
CINQUANTIEME LEÇON. âSp
en la supposant liée à une courbe Ci qui roule sur une courbe fixe C; c'est toujours un mouvement épicycloïdal. Les équations de G et d se trouvent comme celles des cylindres de même nom (644), ou par des considérations particulières.
BIELLES ET HANIYELLES.
646. Considérons {/ig- ly^) nne manivelle OA tournant autour du point O et articulée en A à l'extrémité
d'une bielle AB dont Fîg. 173. , . ,
1 autre extrémité est assujettie à se mouvoir sur une droite OX, et cherchons, dans la disposition actuelle du mécanisme, quel est le rapport de la vitesse i^ du point B à la vitesse angulaire (o de la manivelle.
Nous déterminerons le centre instantané de rotation de la bielle ; or le point A décrit un cercle dont la normale est OA; le centre instantané se trouve donc sur cette droite ; il est aussi sur la perpendiculaire BI à OX, c'est-à-dire sur la normale à la trajectoire du point B; il est donc à l'intersection I des deux normales. Les vitesses de A et de B sont dans le rapport de lA à IB ; la vitesse du point A est co x OA ; donc
u IB OA X IB
» X OA lA lA
sî Ton mène en O une parallèle à BI jusqu'à sa rencontre en H avec AB prolongée, on aura aussi ç^ = w x OH.
La normale à la trajectoire du point M pris sur AB est ML
Les lieux des centres instantanés dans l'espace et par
24o codus de mécanique.
rapport à AB sont compliqués dans le cas général; maïs supposons maintenant 0A = AB; on voit aisément que AI est aussi égal à AB; donc 01 = 2AB, et le lieu C des centres instantanés dans le plan est un cercle de centre 0 et de rayon égal à 2AB; au contraire, le lieu C, des points liés à AB qui sont tour à tour immobiles est un cercle dont le centre est A et le rayon AB ; ce cercle roule à rinlérieur du premier, et s'il entraîne AB, il lui communiqueï'a le mouvement que celle droite possède réellement.
La droite AB touche son enveloppe au pied E de la perpendiculaire menée pari, et on trouve que le point E
est sur une circonférence du rayon - AB qui roule dans la circonférence C.
647. Cherchons aussi le rapport des vitesses angulaires (i>, €o' de deux manivelles OA, O'A'
kfiS' ^1^ ^^^) 2trticulées à une bielle rectiligne AA'. Le centre instantané de rotation H de la bielle est à Tinte rseclion I des normales OA, O'A' aux trajectoires de A et de A', et les vitesses de ces deux points sont dans le rapport de Al à A' I ; donc
01 X OA AI w> O^A^ X AI w'xO'A' "~Ââ' «'""OAXA'l'
Soit II le point d'intersection de AA' prolongée avec la ligne des centres ; le théorème des transversales appliqué au triangle 100' donne
