CENTAE DE GRAVITÉ DES LIGNES
63. Les lignes et les surfaces que Ton considère eu géométrie n'ont aucun poids ; mais on peut supposer que ces figures soient chargées d'une multitude de points matériels pesants, ou, ce qui revient au même, que tous leurs points géométriques soient sollicités par de petites forces parallèles. Le centre de ces forces sera, par définition, le centre de gravité de la ligne ou de la surface considérée.
Une ligne est homogène quand des parties de cette ligne égales en longueur sont sollicitées par des résultantes égales ou des poids égaux. De même, une surface sera homogène lorsque des portions égales de cette surface auront des poids égaux.
64. Pour trouver le centre de gravité d'une ligne homogène CD, il suffit d'exprimer que le moment du poids de cette ligne, par rapport à trois plans quelconques, est égal à la somme des moments des poids des éléments linéaires qui composent cette ligne, par rapport aux mêmes plans.
Soient CMD = / la longueur de Tare entier, M (x, jr^ z) un point quelconque de cette ligne, et posons
Fig. 33.
On a d'abord, entre des limites
36 COURS DE MÊCAVIQUB,
convenables.
Le moment de l'élément MM' = A5, par rapport au plan ocy^ est i^s(z -{-a) ^ a devenant nul en même temps que As, Eu effet, on peut supposer que le point M'(x -h Axy y -+• A/, z -h Az) soit assez rapproché du point M pour que Tare MM' soit entièrement compris entre deux plans parallèles a xOy^ menés par les points M et M'; par suite, le z du centre de gravité de ce petit arc sera compris entre z et 2 + As. On pourra donc le représenter par z + OLy a étant moindre que Ax.
Donc, si Ton désigne par Xi ,^1 , z^ les coordonnées du point G, centre de gravite de CD, on aura
de quelque manière que la courbe soit partagée. Cette équation a donc encore lieu quand les éléments analogues à MM' sont infiniment petits et leur nombre infini. Mais on sait que
donc
(2) /zi = \zds.
On opérera de la même manière par rapport aux plans xO^ et j'Oz, de telle sorte que les cooi données du point G seront déterminées par les trois formules
(3) lxt= I xdsy lxtz=: jjrds^ izi=zltdSj
ces trois intégrales étant prises entre des limites qui correspondent aux extrémités C et D de Tare proposé.
65. Si la courbe est plane, on peut prendre son plan pour celui des X)', et alors Zi = o. On n'a donc plus
QTTÀTElkMB LEÇON. ij
besoin qne des formules
(4) /r, = / X <&, //, — jxds.
66. On peut encore parvenir aux formules (3) en considérant la ligne CD comme la limite d*une ligne polygonale et bomogèoe qui lui serait inscrite.
En effet, on peut admettre comme évident que le centre de gravité d'une droite homogène est au milieu de sa longueur. Le moment de la droite MM', par rapport au plan xOy^ sera donc
ou
Zx étant le z du centre de gravité de la ligne polygonale inscrite, on aura donc
Zi.ZMM' = iMM'.z-f- 2 •
Si Ton passe à la limite, on aura
