MOMENTS DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT

6S3. Prenons les moments par rapport aux axes Oxi, Oj^4, Ozi de la quantité de mouvement m»^ du point m, comme si c'était une force (qu'on remplacerait, dans la théorie des couples, par une force égale et parallèle appliquée à l'origine et un couple).

Le moment de mif par rapport à Oa:« est

'»(«*'iri^«'i5i)»

La somme des moments des quantités de mouvement de tous les points du corps par rapport à O j?i est donc

Cette somme se réduit à Ap, en supposant que les axes Oxi,. Oj*!, 0^1 soient les axes d'inertie principaux du corps pour le point O. Ainsi, en nommant A, B, C les trois moments d'inertie principaux du corps pour le point O, Ap, By, Cr sont les sommes des moments des quantités de mouvement des points du corps par rapport aux axes principaux.

Dans la théorie des couples, ces moments sont ceux de trois couples agissant dans les trois plans coordonnés ^lOj^tï ...Ilsdonnent un couple résultant dontle moment

CINQUANTIEME LEÇON. 247

G = \jA?p^-^ B^ q^-^ C^ r'^ : la perpendiculaire à son plan fait avec les axes 0;ro Oy^, Oz| des angles qui ont pour

cosinus "7^? -p^9 TT- M. Poinsot a remarqué que ce plan ^ G G G

est le plan diamétral conjugué au diamètre de Tellipsoïde

central

Ax»+ B7'-i-Cz*= I,

qui est dirigé suivant Taxe instantané.

En effet, soient af, y'^ J les coordonnées par rapport aux axes Oxi , Oy^ , 0;?i du point N où Taxe instantané rencontre Tellipsoïde central : on a

et aussi, puisque le point N est sur Tellipsoïde, Le plan tangent en ce point N a pour équation

le plan diamétral conjugué à ON a pour équation

kx' X -4- T^y'j H- Cz'i = G,

kpx -^ B^j -f- Crz = o.

La perpendiculaire à ce plan diamétral fait avec les axes 0^1, 0^1, Oz^ des angles dont les cosinus sont

'FT'i TT^ TT ' Donc cc plan est celui du couple résultant. G G G

654. Si Ton prend des axes fixes quelconques, on aura la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à l'axe Ox d'après les lois connues de la composition des moments ou des couples, en multipliant les moments A.p, By, Cr relatifs aux axes Ox^, O^i, Oz^

par les cosinus a, 6, c des augles que Ox fait avec ces axes et ajoutant, c'est-à-dire que

(i) iZj^vZ^ — X— j=:A/?<i'4-Bg6'-f-Crc',

MOTJVEMBHÎT d'uWE FIGURE SPHÊKIQUE. JOINT UNIVERSEL.

655. Une figure sphérique qui se meut sur sa sphère peut être regardée comme liée au centre, c'est-à-dire à un point fixe; tout mouvement élémentaire de la figure est une rotation autour d'un diamètre de la sphère, ou autour d'une de ses extrémités I qu'on appelle pôle instantané; les vitesses des divers points M sont normales aux arcs de grand cercle MI, et proportionnelles aux sinus de ces arcs. Tout mouvement continu est un mouvement épicycloïdal sphérique.

Pour transmettre le mouvement de rotation d'un arbre à un autre arbre qui coupe le premier sous un angle obtus, on emploie souvent le joint universel ou joint de Cardan. Au lieu de prolonger les arbres jusqu'à leur point de rencontre O, on les termine par des fourchettes demi-circulaires et égales, APA', BQB', dont les diamètres AA', BB' se coupent en O ; un croisillon A A'BB', à bras égaux, est articulé à la fourchette P en A et A', à la fourchette Q en B et B'; le mouvement de P entraîne celui du croisillon dont le centre est fixe, et le croisillon entraîne l'arbre Q. Cherchons le rapport des vitesses angulaires (o, tJ des deux arbres.

Si du point O comme centre on décrit une sphère dont le rayon soit égal à un des bras du croisillon ^ que je

CINQUANTIEME LEÇON. ^49

prends pour unité, les points A et B (^fig* 174) se

meuvent sur des arcs de grand cercle CAC, CBC'.dont les pôles sont P et Q; menons Tare de grand cercle AB, qui est égal à un quadrant. Le pôle instantané autour duquel tourne AB est à Tinter- . section I des arcs PA, QB normaux aux trajectoires de A et de B. Les vitesses de A

et B mesurent les vitesses angulaires co, co', et nous

avons

sinlA sinIBA

sinlB sinlAB

Dans le triangle sphérique ABC, on a

lAB — -, B = IBA sinB = sin^sinC,

— cosC

cosB = — v^ I — sin' B , cos A = -—

cosB '

donc

— cosB I — sin*B sin'C

cos A

cosC

Ce rapport reste compris entre cosC et -- — ; et

s'éloigne très peu de l'unité si Tangle des axes est voisin de 180 degrés.