COMPOSITION DES TRANSLATIONS ET DES ROTATIONS
606. Lorsqu'un solide est animé de plusieurs mouvements simultanés, suivant une expression adoptée en Géométrie, la vitesse d'un de ses points est la résultante des vitesses dues à chacun des mouvements donnés, et
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sa projection sur un axe est la somme des projections des vitesses composantes. Nous allons chercher à remplacer les mouvements simultanés par un mouvement résultant.
Il est évident que le mouvement résultant de plusieurs translations est une translation dont la vitesse est la résultante des vitesses des translations données.
Supposons le solide animé de deux rotations ; Taxe représentatif de Tune étant égal à ^ et dirigé suivant Taxe des Zj Taxe de la seconde égal à ^ et dirigé suivant la droite j; = a, / = o parallèle à Oz. Reportons-nous aux formules (2), 643, et ajoutons Jes projections des vitesses dues aux rotations composantes, nous trouvons pour la vitesse résultante
pj^'hq[x-^CL)^{p'\-q) r-x— ^^-j
di
Le mouvement résultant est une rotation dont Taxe représentatif se déduit des axes des rotations composantes comme la résultante se déduit de deux forces parallèles; si p et q ne sont pas de même signe, c^estque les rotations ne se font pas dans le même sens, mais ridentilé avec la composition djes forces parallèles et de sens contraire subsiste. Le cas correspondant aux couples est celui de g =^ — p] alors les projections de la vitesse deviennent
dx dy dz
dt dt '^ dt
un couple, de rotation est équivalent à une translation dont la vitesse, égale au moment du couple, est perpendiculaire à son plan.
Soît un corps animé de plusieurs rotations dont les axes concourent à l'origine et ont respectivement pour projections sur les axes coordonnés /?, q, r, p\ e/', ... ; la vitesse du point (^,^, ^) a pour projections (651)
Le mouvement résultant est donc une rotation dont Taxe représentatif a pour projection la somme des projections des axes des rotations données ; c'est dire qu'il se déduit des axes donnés comme la résultante se déduit de forces concourantes. En particulier, trois rotations dont les axes concourent ont pour résultante une rotation dont l'axe est la diagonale du parallélipipède construit sur les axes proposés : inversement, une rotation peut toujours être remplacée par trois rotations simultanées.
657. La position des droites Oj:i, O^i, Ozi (648) est définie par neuf cosinus entre lesquels existent six relations; ces cosinus peuvent donc s'exprimer en fonction de trois variables iddépendantes. Soient OL l'intersection du plan Xi O^i avec xOj, ^ l'angle ;rOL, y l'angle LOj7|, 8 l'angle des plans Oœy^ Ox^^t ; a, è, c ne sont autres que les projections suivant O^i, Oj^i, Oz« d'une droite égale à l'unité et comptée sur Ox; or la projection de cette droite sur un axe est égale à la somme des projections de deux droites, l'une égale à cos^j^ suivant OL, l'autre égale à — sin^ suivant une droite du
plan xOy faisant avec Ox Tangle ij^H — ; on trouve
a52 COURS DE MÉCANIQUE.
aisément les formules très générales
a^zi cos>{/cos9) — sin;{/cos9sinfy b =z — cosip siny — sini{* cosô cosç). r = sin\f» sinO.
Si on remplace Ox par Oy, ou ^ par ^ -^ on
trouve
û' =r sîn^ cosf -h cosip cos6 siny,
^' — - — sin^p sinç> -f- cos^J/ cos0 cos^,
c' — — costJ* sinO;
enfin, en projetant une longueur égale à Tunîté prise sur Or,
658. On pourrait calculer/?, y, r en substituant dans les formules (3) du n® 648 les cosinus et leurs dérivées; mais la rotation u) peut être regardée comme résultant de
trois autres dont les axes seraient -f suivant U^, -7- sui-
vantOL, — suivant Oz^; p, q, r sont les projections
de (o sur Oxi, Oj'o Ozi, ou, ce qui revient au même, les sommes des projections des axes composants, et Ton a immédiatement
. ^d'i, dO
w = sin © sin S -7- 4- ces» — 1
' ^ dt ^ dt
(!] ( <7-^cosy smÔ —- — siny — -5
V / ^ / ^ di ^ di
dv ^ d'it
r = -^ -h cosO -/-.
di dt
De ces équations on peut tirer
- - =/? coso — q siTïf,. smS -~- =/7 smy -4- qcosfy
-~ = r — (/>sin^-}- q coso) cotô.
MOUVEMENT LE PLUS GÉNÉRAL d'uN SOLIDE.
659. Considérons enfin un solide S animé d'un mouvement quelconque. Par un point 0|, pris à volonté dans Sy je mène trois droites qui restent parallèles aux axes fixes ; le mouvement relatif de S par rapport à ces parallèles est celui d^un solide qui aurait un point immobile en 0|, c'est-à-dire que, pendant un temps infiniment petit, il se réduit à une rotation autour d'une droite Oi I ; donc le mouvement élémentaire de S résulte d^une translation dont la vitesse est celle de 0| et d^une rotation autour d'un axe passant par ce point. L'axe représentatif de la rotation a toujours la même grandeur et la même direction ; mais sa position, ainsi que la vitesse de la translation, change avec le point 0|.
Mozzi trouva une représentation plus précise du mouvement considéré. Supposons qu'à l'époque t l'origine , des axes fixes coïncide avec 0| , et l'axe des z avec 0| I ; soient /, /w, n les composantes de la vitesse du point 0| ; la vitesse d'un point {x, y^ z) résulte de la translation correspondante et d'une rotation a> autour de Oz; ses composantes sont donc
/— M7=: — wf^ |, w(.rH j
Le solide se meut comme s'il tournait avec une vitesse angulaire co autour d'une parallèle à 0>s, en même temps qu'il glisserait avec la vitesse n le long de cette droite; ce double mouvement est celui d'une vis dans son écrou, ou un mouvement hélicoïdal.
254 COUtlS DE MÉCANIQUE.
ROTATION D'UN CORPS SOLIDE AUTOUR D'UN POINT FKB (suite). — MOUVEMENT D*UN CORPS SOLIDE LIBRE.
Équations du raouTement. — Cas où il n*y a pas de forces motrices. — Plan invariable. — Mouvement de FeUipsoIde central. — Lieu des axes instantanés dans le corps. — Lieu des axes des couples résultants. — Mouvement d'un corps solide entièrement libre.
