ÉQUATIONS DU MOUVEMENT

C60. Supposons maintenant que des forces motrices données agissent sur le corps solide. Désignons par X, Y,Z les composantes parallèles à des axes Gxes de la force appliquée a la molécule m qui a pour coordonnées x, y^ z. D'après le principe de d'Âlembert, les forces perdues

X — m—^y ••• doivent se faire équilibre autour du

point fixe O : il faut et il suffit pour cela que la somme de leurs moments, par rapport à chacun des axes fixes, soit égale à zéro, ce qui donne les trois équations

en désignant par L, M, N les sommes de moments des forces motrices par rapport aux axes fixes. La première des équations peut s'écrire ainsi :

d\^ I dz dr\ r dil'"V'd-'-èl}==^'

Mais on a trouvé plus haut (654)

Donc on a

. ^ ^ dp ^t dq r^ dr ^ dn ^ db ^ de ' ' dt dt dt ^ dt ^ di dt

Faisons coïncider les axes fixes avec les axes principaux du corps Oxi, Oj^i, 0^1, pris dans la position qu'ils occupent au bout du temps t. Nous aurons alors

da dh de

en même temps il faut remplacer L ou 7 m (Zj — Yz)

par la somme des moments des forces données par rapport à l'axe OjTi, que nous désignerons par Lj. L'équation (a) devient

(3) A^-{-(C-B)îr = L„

et les deux autres équations (i) donnent de même

(5) Cj^+{B-A)pq.-.V,.

Ce sont les formules d'Eulcr : Lj, Mi, Ni, désignent les moments des forces motrices par rapport aux axes principaux du corps à F époque t,

661 . On les obtient encore de la manière suivante. D'après la composition des moments ou des couples

analogue à celle des forces^ la somme Kp des moments des quantités de mouvement par rapport à Taxe OjTi est égale à la somme des moments par rapport aux axes fixes multipliés par les cosinus a, a\ a^ des angles que Oxi fait avec ces axes fixes. Ainsi Ton a

et, en difTérentiant,

dt Zu \ dt^ dO I Zd \ df* ^ I

flfi"^ f dx dz\ da"^ ( dr djr\

ou d'après les équations (i)

dir'V / de dz\ rfrt''V / dr dx\

^^Z'"yTi-'di)-^-drZ"'['ii-^Tir

Si Ton fait coïncider les axes fixes avec les axes OjTi, Ojij Ozi, au bout du temps t, cette équation deviendra

car, dans cette coïncidence, on a

, - da da! da'

CINQUA^NTB ET C»I£MB LEÇON. 20']

L devient Li et les sommes des moments des quantités de mouvement

deviennent celles qui se rapportent aux axes Ox^Oj^i, 0^1, c'est-à-dire Ap^ Bq, Cr (653).

CAS OU IL »'t a pas de FOfiCES MOTRICES.

662. On intègre facilement les équations d*Euler quand il n'y a pas de forces motrices ou qu'elles se font équilibre autour du point fixe. On a

(1) {B^^(A-C)pr=o,

Multipliant par p^ q^ r et ajoutant

kpdp -t- Bqdcj -I- Crdr — o ,

d'où

(2) A/>» -+- B7' + Cr» z=z h,

h désignant une quantité positive, puisque A, B, C sont positives. Celte équation s^obtiendrait encore en exprimant que la force vive est constante, d'après le principe général sur le mouvement des systèmes où il n'y a pas de forces motrices.

663. Multiplions les équations (i) par Kp^ 67, Cr, ajoutons et intégrons. On aura

(3) A>' -f- B»y» 4- CV» = G».

G étant le moment du couple résultant, on en conclut que ce moment est constant.

Sturm . - - Mèc .II. '7

258 COUBS DIS MÉCANIQUE.

Ces deux équations donnent

G» — B^-4-(B— C)Cr'

En substituant les valeurs de p et de ^ dans Téquation

on en tire

C \/ÂBfir

V^[G^ — B>i-h(B— C)Cr][A/i — G=-+-(C~A)Cr^J

équation dont Tintégrale dépend des fonctions elliptiques, mais qu^on peut obtenir sous forme finie si deux des moments dMnertie A, B, C sont égaux ou si G* est égal i l'une des quantités AA, B/t, Ch,