L'axe instantané 01 fait avec les axes Oxj, Oji
â6o COURS DE MÉCANIQUE.
Ozi des angles dont les cosinus sont -^ -9 -• Donc
cos 10, G=-/^-4--^iH-— - .
OU
6icos(10, G) = -L ^ = -,
quantité constante qui représente la composante de la vitesse angulaire autour de Taxe fixe du couple résultant des quantités de mouvement.
668. Le plan du couple résultant G étant invariable, prenons-le pour plan des xy. On aura
Ap
cos (G, Ox,) = COSzOx, z=z a'r= --f- ,
r% COS(G, O/,) — C0Sz0j^.=:i: ^"== -^»
Cr cos(G> 0«,) = coszOzi =:c" = —5
d'où [formules ( 1 ) du n^ 657]
sinôsin© 1= -rf-j smôcos© = -7~5 cos9=---- G G G
Ces formules s'accordent entre elles, car en ajoutant
leurs carrés on a
AV»-f-B»7^-f-CV I- ^ >
la troisième donne la valeur de 9. Des deux premières
on tire
kp
Si Ton élimine dB entre les équations (i) du n^ 658, on aura
sin'0€/>{i = sxn^ûïï^pdt + sinGcoSf 9<2r»
d'où
OU
puis on remplace dt par sa valeur en fonction de r. Comme A — Cr* et G* — C*r* sont positives, ~- sera toujours négative, c'est-à-dire que OL tourne toujours dans le même sens.
Le choix du plan invariable réduit les constantes arbitraires à quatre, savoir A, C et les deux constantes introduites par Fintégration de dt et de d^, I\ y aurait bien six constantes, puisqu^il y a six variables p, q^ r, ip, f , 0. Mais deux sont nulles, / = o, /' = o.
669. L'axe instantané de rotation est le diamètre conjugué au plan du couple résultant des quantités de mouvement dans Fellipsoïde central (653).
La somme des forces vives est Ap* -h B^* -4- Cr'
ou h. D'un autre côté, elle est égale à w" \mp* = ~>
£i étant le demi- diamètre ON de Tellipsoïde central qui coïncide avec l'axe instantané. Donc
-- = /', ou
c'est-à-dire que la vitesse angulaire est proportîonnello au demi-diamètre qui va du centre au pôle instantané de rotation.
MOUVEMENT DE L^ELLIPSOÏDB CENTAÀL.
670. Le plan tangent à Tellipsoïde central au pôle instantané a pour équation, par rapport aux axes Oxi,
ou
\px H- B^J "i- Crz - - •
La longueur de la perpendiculaire abaissée de Torigine O sur ce plan tangent est
quantité constante. Donc le plan tangent à rellîpsoïde central au pôle de rotation est fixe dans l'espace. C'est un plan parallèle à celui des quantités de mouvement.
L'ellipsoïde, dont le centre est fixe, roule sans glisser sur ce plan fixe, et la vitesse angulaire de rotation est proportionnelle au rayon qui va du centre au pôle instantané sur la surface de Tellipsoïde.
Il ne fait que rouler sans glisser; car, comme son mouvement consiste à tourner pendant un instant sur ledia* mètre, l'ellipsoïde amène au bout de cet instant un nouveau point de sa surface en contact avec ce plan, et ce nouveau point, qui devient le pôle de la rotation pour l'instant suivant, reste à son tour immobile pendant cet instant, et ainsi de suite, de sorte qu^aucun de ces points par lesquels l'ellipsoïde vient se mettre en contact avec le plan, ne peut jamais glisser sur ce même plan.
CINQUANTE ET tNlÈME LEÇON. 203
La courbe décrite sur la surface de Tellipsoïde par le pôle instantané de rotation [x\y\ z') est appelée po-
loYffe.
