MOUVEMENT D^UN CORPS SOLIDE ENTIÈREMENT LIEHE
675. Le mouvement d^un corps solide libre, sollicité par des forces données, sera connu quand on pourra déterminer le mouvement absolu d'un de ses points et le mouvement relatif de tout autre point du corps autour de celui-là. Si G est le point particulier du corps dont on considère le mouvement absolu, il faudra concevoir qu^il emporte avec lui, dans son mouvement, trois axes Gx, Gy^ (jz^ constamment parallèles à eux-mêmes, par rapport auxquels ou chcrcliera le mouvement de chaque point M du corps. Si Ton a seulement pour but de décomposer le mouvement du point M en d'autres plus simples et plus faciles à concevoir, on pourra, comme cela a été dit, choisir à volonté le point dont on considère le mouvement de translation. Mais, dans Tapplication, il est avantageux de prendre le centre de gravité. En effet, d'après le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité, il suffit de connaître les forces motrices du système et sa masse, pour déterminer le mouvement de ce point, et de plus^ quand ce corps est mis en mouvement par des percussions, il suffit, pour déterminer la vitesse initiale du centre de gravité, d'y transporter les quantités de mouvement qui mesurent les percussions et de les composer comme des forces : la résultante est la quantité de mouvement initiale du centre de gravité.
Eufîn, un autre avantage consiste eu ce que, sous l'action fies forces motrices le mouvement de rotation autour du centre de grav^ité est le même que si ce point était fixe. C'est ce que nous allons prouver.
67G. Soient |, rj, ^ les coordonnées du point M par rapport aux axes mobiles Gx, Gr? Gz et désignons par X, Y, Z les composantes de la force motrice applicpiée en ce point. On a, d'après le principe des aires.
Or on aurait précisément les mêmes équations si le centre de gravité était fixe. Par conséquent, si ces équations suffisent pour déterminer le mouvement, il doit être le même pour le corps dont le centre de gravité serait fixe et pour le même corps dont le centre de gravité serait mobile.
Soient en effet GA, GI3, GC trois axes rectangulaires fixes dans le corps qui tourne autour du poiut G, et mobiles avec lui. Quand les trois angles f, 6, ip, définis au u°657, seront connus pour une époque quelconque, on connaîtra évidemment la position des trois axes GA, GB, GC et par suite celle d'un point quelconque du solide. Or on peut exprimer les coordonnées $, yj, Ç du point M en fonction de celles du même point par rapport à GA, GB, GC, lesquelles restent constantes dans le mouvement, et des angles (p, 6, vp. Donc, en substi tuant les valeurs dtf |, ri, (^ en fonction de cp, 6, <p dans les équations (i), celles-ci déterminent les valeurs deç, if^,©, en fonction du temps. Ainsi le système (i) suffit pour déterminer le mouvement relatif, et Ton voit qu'il est le même, par rapport au centre de gravité, que si ce point était fixe.
677. Nous allons donner une démonstration synthétique de celte proposition. Désignons par (p la force ac-
'*"• '"^* célératrice du centre de gravîté
•G, force qui a pour composantes parallèles aux axes fixes d^x, d^x, d^z,
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étant les coordonnées du point G par rapport à trois axes fixes OX, OY, OZ. La résultante de toutes les forces motrices des points du corps transportées au centre de gravité G, parallèlement à elles-mêmes, est M^, M étant la masse du corps (600). Or, pour avoir le mouvement relatif du point M par rapport au point G, il suffit de considérer ce dernier point comme fixe et de soumettre à chaque instant le point M à Taclion simultanée de sa force effective Q et d'une autre force égale à mcp, parallèle à la force accélératrice cp du point G, mais agissant en sens contraire. Or les forces telles que mcp étant parallèles entre elles et proportionnelles aux masses des molécules, se composent en une seule Mop qui passe par le centre de gravité et se trouve détruite continuellement, puisque c'est autour du point G rendu fixe que le corps tourne actuellement. Il reste alors, comme forces propres à faire mouvoir le solide, les forces effectives, qui, d'après le principe de d'Alcmbert, peuvent être remplacées par les forces motrices données P, P', P",.--^ puis(]ue les unes comme les antres font à chaque instant équilibre aux forces effectives prises en sens contraire. Il suit de là que le corps tourne autour du centre de gravité comme si ce point était fixe, en supposant le corps soumis dans les deux cas aux mêmes forces motrices, sans en ajouter de nouvelles.
678. On n'arriverait pas à la même conclusion si l'on considérait le mouvement relatif autour d'un point
quelconque C, autre que le centre de gravité, (f étant alors la force accélératrice du point C, toutes les forces parallèles et de sens contraire, telles que m(^, qu^il faudrait appliquer aux autres points, pour avoir le mouvement relatif autour du point C supposé fisc, se composeront en une seule Mc^ appliquée au point G, en sorte qu'il faudrait joindre cette résultante aux forces motrices données pour avoir le mouvement relatif autour du point C. En général les forces X, Y, Z dépendent des coordonnées x, y^ z ou de la position des points matériels, en sorte que le mouvement du centre de gravité et celui des parties du corps autour de ce centre dépendent Tun de l'autre. Mais quand les forces X, Y, Z, comme la pesanteur, ne dépendent pas de la position du mobile, on peut déterminer séparément le mouvement du centre de gravité et celui du système.
