MOUVEMENT D'UNE CORDE VIBRANTE

Équations (générales du rooQTement. — Cas des petites Tibrations. Vibrations transTersales. — Vibrations longitudinales.

l'ig. 17(3.

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681. Soit une corde homogène parfaîlement flexible, élastique el un peu extensible, d'une épaisseur constante

el très-petite, tendue suivant sa longueur par une force équivalente à un poids donné u et attachée par ses extrémités aux points fixes A et B. On néglige son poids par rapport à u, el par conséquent elle fornie une ligne droite AKB dans son état d'équilibre. Supposons qu'on Técartc un peu de la position d'équilibre ANB et qu'en même temps ou imprime à tous ces points de petites vitesses. Alors elle vibrera autour de la droite A B, et il s'agit de déterminer la position et la vitesse de chacun de ses points à un instant quelconque.

Soit AMB la courbe plane ou à double courbure que forme la corde à une époque quelconque. Prenons trois axes rectangulaires Ax, A/, A^ : un point quelconque qui se trouve d'abord en N sur la droite AB viendra, au bout du temps f, occuper une autre position M voisine de la première. Posons

AN - - .7, AP - J 4- //, PQ ^^j\ MQ - 2.

Les coordonnées du point qui est en N dans la position d^équilibre sont .r, o, o et dans le mouvement, a* + i/, X, z. Ces déplacements des points de la corde élanl trèspetits, w, j", z ont toujours des valeurs très-petites qui sont fonctions du temps t et de x, et la question consiste à trouver leurs expressions en fonction de ces deux variables indépendantes.

Désignons par ds la longueur de la portion de corde infiniment petite MM' qui correspond à Télément NN' = dx dans l'état de lopos. On établit une relation très-simple entre ds et dx^ en exprimant que NN' et MM' ont la même masse. Soit £ le produit de la section normale de la corde par sa densité au point M, dans la position AMB.

tds est la masse de MM' et celle de NN' est ~ dx. en dé-

signant par p le poids de la corde et par / sa longueur primitive ÂB. On a donc

(i) sels = —,(U»

Appliquons maintenant le principe de d'Alembert. Les composantes de la force accélératrice du point M sont

d^(j'-{-H) d^x d^z d^tt d^y d^z

dt^ ' Â^' ^r^' ^" 'dr-' 'dï^' dT^'

puisque x est indépendante du temps t. Si nous appelons X, Y, Z les composantes de la force accélératrice du point M, ou de la force motrice rapportée à Tunité de masse, celle de la force perdue pour Télémeut e ds sont

(x-^^)..„ {.--^y.. [z-gy.

Ces forces devant à chaque inslant se faire équilibre, on a, diaprés les formules qui expriment les conditions d'équilibre d'un fil soumis a l'action de forces quelconques (405) et en appelant T la tension au point M

(c'est-à-dire TacUon des deux parties AM cl MB),