it±iii].(x

Si l'on néglige les forces X, Y, Z, ainsi que la pesanteur, ces équations deviennent, en remplaçant s ^/f

par —, rfx,

L ds J gl iW

\ ds J gl dt* CAS DES PETITES VIBRATIONS.

682. Les équations (2) sont réductibles à la forme linéaire et intégrables quand on suppose les vibrations trèspetites. La longueur de NN' étant dx dans la position d'équilibre, elle est devenue ds quand cet élément occupe la position MM' : sa tension est n dans le premier cas et T dans le second. Or l'expérience montre que l'allongement d'un ûl homogène et d'une épaisseur constante est proportionnel à l'accroissement de tension, quand cet accroissement est faible, et sa longueur primitive. Donc q étant un coefficient constant pour la même corde, on a

. #/ff — de (l) T^Vjr^g—^

Comme la corde n'exécute que des vibrations trèspetites et que les tangentes à la courbe AMB font des

CIlVQUAirTE-DEUlUEME LEÇON. '2^3

d'Y tt%

angles irès-peiîls avec la droite AB, les quantités — i — sont à peu près nulles, et Téquation

(dx-^duy (dy-y fdzY

donne alors

ds=^ dx -^ du,

La formule (i) devient donc

On remarquera d'ailleurs que rallongement e/5 — dx ou du qu'a éprouvé la partie dx du fil est une petite

fraction de dxj de sorte que le rapport — est toujours

très-petit. Donc — comme " — - diffère très-peu de

Tunité et, dans la première des équations (2) du n^ 681,

dT • peut être remplace par a i , puis par a.y — *

h cause de Téquation (a).

Cette équation devient donc, en posant, pour abréger,

la quantité constante ^-^ = a',

dt^ dx

683. Pour le mieux voir, on peut écrire la première équation (2) du n" 681 ainsi :

dl idx -i-dllX dx \ cis )

dx -f- du

^ ds p « ' H

dx gl (U^

dx -h du

,. d.t -4- du -i./ri « 11»».* '^^•^

(h- z dillère tres-pcii de 1 unile et est

ds '^ dx

STinM. — il/r-r. II. 18

2 74 COURS DE. MÉGÂlf IQUE.

négligeable, car en difierentiant Téquation

on a

(dx-^duy [dry fdzY

dx -h du dy dz

dr ds dz ds

-f. ~ { rr= o

as dv ds dr '

dx -f- du

* ds

d 1 nnntiR

dx -+- du

A UUU lAC

dr ds

du même ordre de petitesse que

BSi-. On transformera d^me manière analogue les deux autres équations (2). On a

dy dy dx dy ds dx ds (Ix

car -j- est sensiblement égal à Punité. Ainsi on peut prendre T-— au lieu de T -7- ou (tj-l-^ -7- |-r-5 01^ enfin u-p dx ds \ ' dx J dx dx

, y, du dy . . du

en négligeant "-r ~r^ ^^ qui est permis, parce que ~ et -^ sont petits. On a donc

,ày

ot la seconde équation du système (2) devient, en faîsaDt,

1 , sirs ,

pour abréger, - — = a",

d^ y a^ Il

dl' r/x'

La troisième éq^ualion se réduit de même, en sorte

CINQUAIITE-DEUXIÈMB LEÇON. 3^5

qu'on a les trois équations

pour déterminer h, ^ et -2 en fonction de x et de t. Les variables zi, ^, z étant séparées dans ces équations, on en conclut que les mouvements des points de la corde parallèlement aux axes seront indépendants et coexisteront sans s'influencer mutuellement. Pour une valeur arbitraire de x la première équation, par exemple, donnant une valeur de u en fonction du temps, les deux autres sont satisfaites en supposant^ et z nulles; alors chaque point de la corde a un mouvement vibratoire sur Taxe AB dont il ne s'écarte pas.

685. Les vibrations qui se font suivant ÂB sont dites longitudinales et celles qui sont parallèles à Aj'et Az sont appelées transversales. Ces dernières seraient les mêmes parallèlement à Ay et A z si les valeurs initiales de z et

de — étaient les mêmes que celles àey et de -^ • D'ailleurs

les équations (4) étant de même forme, il suffit d^intégrer une d'elles.

VIBRATIONS TIIAIISVEKSAI.ES.