L'équation
a ponr intégrale générale
,2) y^rf[x'^ at) 4- ^J, (jî — at),
Q et <j> étant deux fonctions arbitraires qu'il s'agit de déterminer. Pour cela il faut connaître à l'origine du temps la courbe formée par la corde et la composante de la vitesse de chaque point parallèle à l'axe des j*.
2^6 GOCinS DE MÉCANIQUE.
Soit donc pour t = o, (3) J=/{^), £=/.(')•
Introduisant cette hypothèse dans l'équalîon prcccJeiue et dans sa dérivée par rapport à t^ on aura
De celte dernière on tire
Intégrant cette équation par rapport à x et posant, pour abréger,
(6) iy/.(x)r/x-F(x),
il vient
(7) ^[x)--if[x) = Y(x) + C.
Des équations (4) et (7) on déduit
l?W-î[/W-t-F(x)^C], hW-^[/W-F(x)H-C].
Substituant.a: + a£à x danscp (x)gix — atdans i{/ (x), puis faisant la somme des deux fonctions, on aura la valeur dej^, où C n'entrera pas,
687. Mais il faut remarquer que par les deux dernières équations les fonctions <^ et ^ ne sont connues, comme f[x) et F(a:), que pour des valeurs de la variable x comprises entre zéro et /^ or on a besoin de les connaître au delà de ces limites, car x devant être remplacée par X -{- at el X — at^ ces nouvelles variables pourroni
dépasser les valeurs zéro et /, puisque le temps t peut croître indéfiniment. Pour déterminer les fonctions ^ et ^ au delà de ces limites, nous allons exprimer que les points A et B sont immobiles.
Pour le point A on aura, quel que soit.f ,
f{«/)-+->K— ar) = o.
Posant at = Ç, cette condition devient
Pour le point B on aura aussi, à un instant quelconque,
<f (^) et (p (^) sont connues pour les valeurs de ^ comprises entre zéro et /.
La dernière condition donne
^(l — ^) est connue pour les valeurs de ^ comprises entre zéro et /, puisque / — ^ se trouve alors comprise entre les mêmes limites. Donc 9(^+^) sera aussi connue pour les mêmes valeurs de ^. Par conséquent, si Ton pose
T(C0 ^^^^ connue pour les valeurs de Ç' comprises entre /et a/. Mais cette fonction étant déjà connue pour les valeurs de ^^ entre zéro et /, le sera donc pour toutes celles comprises entre zéro et 2/.
688. Si dans la condition (9) on remplace 1^ par /+ ?^, elle devient
Mais
2^8 COUnS DE MÉGANIQDK.
donc
Donc la fonction ç(^) est périodique et a pour période 2/, . et comme on connaît cette fonction pour toutes les valeurs de la variable comprises entre zéro et 2/, elle sera donc connue pour toutes les valeurs de Ç positives ou négatives.
