Il résulte de cette discussion que, lorsque at croit
de 2/ ou £ de — # l'ordonnée j^ reprend la même valeur,
de même que la vitesse -^^ Il en est de même de z et
•de -,-• Donc la corde fait une suite de vibrations toutes dt
égales et isochrones dont la durée est — •
691. Dans le vide et en supposant les points A et B absolument fixes, la corde ferait une suite indéfinie d'oscillations de cette espèce. Mais la résistance de Pair ei la communication d'une partie du mouvement de la corde à ses deux points extrêmes A et B <iiminnent graduellemeul Tamplitude des vibrations et finissent par les anéantir,
GINQUAIfTE-DEUXIÈME LEÇOIÏ. 2^9
sans toutefois altérer sensiblement leur isochronîsme. Ce dernier fait, analogue à ce qui a lieu dans le pendule simple, peut être démontré par un nouveau calcul, et Texpérience vient le confirmer.
692. Si l'on clésigue par T la durée d'une vibration de la corde et par n le nombre des vibrations dans Tuniic de temps, on a
Mais
^'—-zri
dou
pi
La corde, dans son mouvement, communique ses vibrations à l'air, qui en fait alors le même nombre dans le même temps. Le son produit a pour mesure n : il est d'autant plus élevé que la corde fait un plus grand nombre de vibrations dans un temps donné. Ce nombre est indépendant de l'amplitude des vibrations et de la figure initiale de la corde ou de son mode d'ébranlement.
Pour une même corde, ce nombre est proportionnel a la racine carrée de la tension ts\ pour des cordes d'une même matière et d'une même épaisseur, p étant proportionnel à /, les nombres de vibrations sont en raison inverse des longueurs. Enfin pour des cordes de même longueur et également tendues, n est en raison inverse des racines carrées de leurs poids. L'expérience a confirmé ces lois.
IVCœUDS DE VIBIlÀTIOr^.
693. Il y a des cas où la corde, en raison de son état initial, se partage, pour ainsi dire, spontanément en
un certain nombre de parues égales vibrant à Tunisson et dont les points de séparation, appelés nœuds, restent immobiles pendant la durée du mouvement. Alors le son s*élève proportionnellement au nombre de ces parties. Nous allous en donner un exemple. Reprenons Téquation
Les dimensions et la tension de la corde étant données, on peut disposer de sa figure et de la vitesse initiale de chacun de ses points, de telle sorte que son mouvement soit représenté par une équation de la formey = 0Xf d étant une fonction de t el X une fonction de x seulement. En effet, pour que Téquation (i) soit vérifiée, il faut que Ton ait
Comme le premier membre est fonction de x seulement et le second de r, Tégalité ne peut avoir lieu qu'autant que les deux membres se réduisent à une même constante — À*. On aura donc
Comme on ne veut qu'une intégrale particulière, prenons
(4) X = sin/-x.
La fonction 9 se déterminera ensuite par Téquation
d'où Ton tire
6 = C cosûXy 4- C sina*/,
et 9 par suite,
En faisant / = o, nous aurons pour la figure initiale de la corde
(6) ^ = C sin Xx
et nous pouvons faire que la vitesse initiale soit nulle, en supposant nulle la constante C^ Le mouvement de la corde est alors représenté par Téqualion
{ 7 ) jr =iCsinkx cos al;t.
Il faut encore exprimer que les points A et B restent toujours fixes. Or pour x = o, on a bien j- = o, quel que soit t\ mais si Ton veut quej^ = o, quel que soit ;, pour jc = /, il faut faire W= /wtt, m étant un nombre entier
quelconque; on en déduit k = —-y et le mouvement de
la corde est représenté par Téquaiion
-, ^ . niTX mnnt
(o) j' = C sm — — cos — - — •
Ainsi la corde ayant, sans vitesse initiale, la forme de la courbe^ = Csin — t-^î si on l'abandonne à ellemême, elle effectuera une suite indéfinie de vibrations isochrones dont la loi est donnée par Téquation (8).
694. On sait que^ doit être une fonction périodique du temps. En effet, ici, j^ reprend la même valeur quand t
croît de Ainsi dans cet exemple y et -r- sont les
ma ^ "^ dx
1 il mêmes quand le temps augmente de la période ) et
le nombre de vibrations effectuées dans Tunité de temps
sera m—? c'est-à-dire m fois celui qui correspond au
son le plus grave de la corde, déterminé par la théorie générale.
693. Nous allons démontrer que dans ce cas la corde se partage spontanément en m parties égales qui vibrent comme si elles étaient séparées/ de sorte qu*il y aura m — I nœuds de vibrations. En efîet, on obtiendra tous les points qui resteront immobiles pendant toute la durée du mouvement en posant
Sin = O ou X rr: — /,
I étant un nombre entier quelconque plus petit que m. On en conclut que^ est nulle pour les valeurs de x
quel que soit t.
On pourrait) sans considérer un exemple particulier,
choisir les fonctions /(x) ei fi(x) telles, que ç(Ç) et
d;(^) redeviennent les mêmes, non-seulement lorsque ^
croit de a/, mais encore lorsque cette variable croit d*iui
