Le centre de gravité de l'arc de cercle BÂC est

évidemment situé sur la droite OA, qui passe par le centre du cercle et par le milieu de Tare.

Prenons donc OA pour axe des X9 et une perpendiculaire Oy pour axe des y.

Posons

OA=^a, BAC = /. AM=:f, jr, = OG.

On a donc

COUHS DE. MÉCAHIQUB.

= 0P = a cosMOP = a cos -;

te, rr : j xds-- ta COS — ds.

donc

a cos -/is=.a*ùn — h C , a a

a cos — ds :=i^a}%\n — = a X" 211 sin — =r « X

= tf X fiC.

Donc si l'on désigne par c la corde 6C, on aaia

Ainsi, la distance OG du centre de gravité de F arc au centre du cercle est une quatrième proportionnelle à rarcj à sa corde et au rayon.

CYCLOIDE.

Fig. 25.

69. L'équation différentielle de la cycloïde rapportée aux axes A a: et Ky est, comme on sait (Cours d^Ana^ lyse. 246) ,

a étant le diamètre du cercle générateur. Pour déterminer le centre de gravité de Tare CM, compté à partir du sommet, prenons pour axe des y la tangente au sommet, et pour axe des x' la perpendiculaire Cj:^ Posons

AP = *, MP=:/, CQ=:*^, MQ=r',

CINQUlkMB LEÇOlf* 4^

On A

L'équation difierentielle (i) devient donc

et,- en supprimant les accents,

(2) dy=\J''—JLdx.

Soit CM = /. On aura

c'est-à-dire

(3) /= 2 y/rtJT.

L'abscisse x^ se calculera par la formule

xds-=i I ^a ^xdxzzz -^x ^ax\

donc

2* i/rij:

ou'

On a ensuite

'r-Jx'Is-ylajr---^,

et, en intégrant par parties,

4^ C0VK8 DB XÉCAiriQnB.

Or, pour x = o, on a ^t = Oy donc

d*où, en divisant par /= a ^ôx,

70. Sî l'on veul avoir le centre de gravité de Parc CA, on fera, dans les formules précédentes,

et Ton aura (6)