ÉGALITÉ DE PRESSION EN TOUS SENS
701 . On admet comme un résultat de l'expérience ou Fig. 177. comme une conséquence de la
distribution uniforme des molécules des fluides, que la dîrec- . lion de la pression est toujours perpendiculaire à l'élémenl de surface (ù sur lequel elle s'exerce. Ce fait se rattache a cet autre plus général : quedes corps en contact n'exercent
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Tua sur Fautre que des actions normales quand leurs surfaces n'ont aucune adhérence ni frottement. '
Celle notion s'applique à une portion inténeure d'un fluide, car l'c5quilibre ne serait pas troublé si l'on supposait une portion quelconque du fluide solidifiée. On peut donc, en un point quelconque de l'intérieur, supposer une paroi plane solide, et il y aura sur chaque élément de cette surface une pression toujours perpendiculaire à son plan. Il y a égalité de pression en tous sens pour un même point, c'est-à-dire que si Ton considère une surface infiniment petite ct> passant par un point M pris à volonté dans le fluide, la pression exercée par le fluide sur chaque face de l'élément o) sera toujours la même, quelle que* soit la position que Ton donne à l'élément o), en le faisant tourner autour du point M.
Pour démontrer ce principe, faisons passer par le point M deux plans quelcouqui^s; prenons sur leur intersection une longueur MN trèspetite, et menons dans ces plans perpendiculairement à leur intersection les quatre droites MI, KK, Mi', NK' égales à la longueur MN, Il s'agit de démontrer Tégalité des pressions p et p' rapportées à l'unité de surface que le fluide exerce sur les surfaces planes égales MIKN, MI'K'N.
La masse fluide contenue dans le prisme droit MII'NKK' sera encore en équilibre si on la suppose solidifiée. Les pressions que le fluide extérieur exerce contre les cinq faces de ce prisme, perpendiculairement à ces faces, font équilibre aux forces (analogues à la pesanteur) qui sollicitent toutes les molécules intérieures. Donc la somme de leurs composantes parallèles à un axe quelconque est nulle.
Menons par le point M un axe ML parallèle à la droite II'. Le fluide exerce sur les deux surfaces planes MIKN
â88 COURS DE MÉCANIQUE.
elMrK'N, que nous désignerons para) et co'et qui sont égales, des pressions ^^ &> et ^'o)' dont les composâmes suî* vaut Taxe ML sont ptù cosa et p^(ù^ cosa'; a et a' désignant les angles que les normales à ces deux plans ou aux droites MI, MV, font avec ML. Ces angles sont supplémeuts l'un de l'autre. Les pressions normales aux autres faces Mil', NKR' et IKKT ont leurs directions perpendiculaires à ML et par conséquent ne donnent pas de composantes suivant «cette droite. Quant aux forces qui agissent sur les molécules intérieures, nous désignerons par X la somme de leurs composantes parallèles k ML.
La somme de toutes .ces composantes devant être nulle,
on a
p 6) cosa 4- p' w' cosa' -h X = o
ou
(l) (y? ~/?')cosaH :^o,
Cl)
à cause de
û) hj: w', cosa— -—cosa'
Si la longueur MN diminue indéfiniment, tù décroît comme le carré de MN et X décroît à très-peu près comme le volume du prisme ou proportionnellement au
cube deMN. Donc— tend vers zéro; d'ailleurs cosa est
constant. Donc p eip* tendent vers l'égalité quand les surfaces égales co et co' tendent vers zéro. D'ailleurs cosa est constant^ les valeurs de p et dep' tendent vers des limites déterminées qui, d'après Téquation, doivent être égales^ de sorte qu'on & p =p'^ quand les surfaces égales ot), ot)' deviennent infiniment petites.
ÉQUILIBRE n*UN FLUIDE IMGOMPRESSIBLE.
702. Supposons un liquide incompressible contenu dans un vase polyédrique ABCDE. Plusieurs paroi& sont
percées d'ouvertures a, a\ a^\. . ., sur lesquelles sont
ajoutés de petits cylindres ayant leurs arêtes perpendi-
Fig. 179* culaires à ces parois. Si Ton
imagine des pistons qui peuvent se mouvoir dans Tintérieur de ces cylindres, les forces P, P', P'',...
nécessaires pour les maintenir, quand il y a équi' libre, sont égales aux pressions exercées par le liquide contre leurs bases. Nous nous proposons de. vériGer, dans cet état d*équilibre, le principe des vitesses virtuelles.
Concevons que Ton fasse mouvoir simultanément tous les pistons-, soient A, h\ A'^. . . , les espaces qu'ils parcourent, ces espaces étan^ regardés comme positifs ou négatifs, selon que les pistons entrent dans le vase ou en sortent. Le liquide étant supposé incompressible, 'tous ces déplacements virtuels sont liés entre eux par Féquation
ah -+- a' II! -+- a" h'' -i- . . . -- o.
Multiplions cette équation par la pression p exercée contre les parois et rapportée à l'unité de surface; en observant qu'on a
il viendra
ce qui est Féquation des vitesses virtuelles dans cet exemple particulier.
On pourrait étendre ce principe au cas où il y aurait des forces motrices agissant sur les molécules du liquide, mais la démonstration est compliquée et il vaut mieux chercher directement les équations générales de Téquilibre des fluides^ comme nous allons le faire.
Stirm. — Méc.W, 19
COURS DB MéCAlflQUB.
ÉQUILIBRE d'une MASSE ' FLUIDE.
703. Soient Ojt, O/, Oz trois axes rectangulaires, ce Fifif. i8o. dernier étant vertical et
dirigé dans le sens de la pe»
santeur. Nous faisons cette hypothèse, parce que nous appliquerons nos formules principalement aux fluides pesants. En deux points infiniment voisins m (x, j^, z) et e (x -i- dx^ y -H dy^ z -f- dz) construisons un parailélipipède en menant par ces deux points six plans parallèles deux à deux aux trois plans coordonnés. Soient p la densité du fluide au point m et P la force motiice rapportée à Tunité de masse, qui sollicite chaque molécule de ce parallélipipède infiniment petit. Si dm est la masse de celui»ci et X, Y, Z les composantes de la force P, Hdmy Y dm, Ztdm seront les composantes de la force motrice. Enfin désignons parp la pression rapportée à ruiiité de surface qui s'exerce au point m et qui est la même tout autour de ce point.
Si Ton suppose solidifié le fluide contenu dans le petit parallélipipède, l'équilibre ne sera pas troublé. Il faudra donc que les composantes des forces parallèles aux trois axes se détruisent entre elles. Ces forces se composent des forces motrices X^m, Y dm, Ztdm et des pressions exercées par le fluide environnant sur les six faces du parallélipipède. Considérons d^abord les pressions qui s'exercent verlicalemeut sur les faces mabg et cdef\ elles agissent en sens contraire. La première est égale a pdxdy^ 1&
seconde k{p'^-j-dz\ dxdj\ leur résultante parallèle à
O^ est écale à dxdydz ou à Ç- dm. On a donc
° dz ^ ù dz
1 ffp
— r- dm
p ilz
Zdm = o
CIMQVAIITE-TROISIÈMB LEÇON. 29 1
OU
On aurait deux autres équations analogues à celle-là; on a donc
(.) £ = pX. | = pY. ^=pZ.
Ainsi les dérivées partielles de la fonction p sont égales à pX, pY, pZ. La différentielle totale de la pression est
(2) dp z:^ p [Xdjc-^'Y dj -hZdz).
Telle est la formule qui donne raccroissement de pression lorsqu'on passe du point (x, 7, z) au point infiniment YOJsin (x-h dx^jr-\-d)'i z-hdz). Comme p doit être une fonction de x,jr^ js, le second menibre de Téquation précédente doit être une différentielle exacte et, par conséquent, s'il y a équilibre, on a nécessairement
(3) ^(pX)^i/(pY)^ d{pX)^d(pZ)^ d(pY)d{pZ)^
djr dx dz dx dz dy
L'expression p (X<£x -i- Ydy -+- Tjdz) étant alors la différentielle exacte d'une certaine fonction^* (ar, J^, -z), on a
C étant une constante qui sera déterminée quand on connaîtra la pression p^ en un point particulier (j^o^j^q, Xo). Il faudra en outre que, si Ton imagine une courbe fermée passant par un point m (j^,j^, z) la fonction /{Xyy^ z) reprenne la même valeur lorsqu^on reviendra au point m, puisqu'on doit retrouver la même pression.
70i. S'il n'y a pas de force qui sollicite les molécules intérirures, la pression sera conslaiitc dans toute la masse du lluidc», de sorte qu'une pression exlérieuix exercée sur une parlie du fluide adjacente à une paroi du vase doit se transmettre avec la même intensité sur des éléments de
29^ COURS DE MÉCàNlQUE.
surface équivaleuts dans toute la masse et sur toutes les parois.
705. On appelle 5{ir/ace de /i/Veaii une surface dont tous les points éprouvent la môme pression. La formule (4) montre qu'elles sont toutes comprises dans l'équation
a étant une constante. Si l'on fait varier cette quantité d'une manière continue, on obtient une inCnilé de surfaces. Une couche de niveau est la masse du fluide comprise entre deux surfaces de niveau. L'équation f[x^y^ ^) =a montre que deux surfaces de niveau ne peuvent pas se couper.
706. La force motrice est normale a la surface de nivean en chacun de ses points. En effet, soit P cette force, on a, en tout point de cette surface,
X ^jr -^ Y r/y -h Z rfz = o ,
d'où, en divisant par Vds^ ds étant un petit arc tracé sur la surface,
X ^ Y ri[r Z r^ __
équation qui montre bien que la force P est perpendicu* laire à tout élément de courbe tracé sur la surface et passant par le point m.
707. Si la pression est nulle ou constante en tous les points de la surface libre d'uu fliiide, celle-ci est une surface de niveau. Dans un liquide il peut se faire qu'il n*j ait pas dépressions extérieures'. Il n'en est plus de même dans les fluides élastiques. Ils ne peuvent avoir de sur* face libre, ou sur laquelle la pression soit nulle, parce que la pression est liée à la densité par Téqualion /^=A~p<, k étant une constante dont la valeur dépend de la température, en sorte que pour qu'il n'y eût pas de pression dans une partie de la masse, il faudrait qu'il n^y eut pas
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de matière en cet endroit : c'est ce qui explique la nécessité de maintenir les gaz dans des vases fermés de toutes parts.
