Reprenons Téquation

dp = p{Xdx -+- Ydj 4- Zdz).

Supposons que Xdx H- Ydj -|- Zdz soit la différentielle exacte d'une fonction 9(x, jr, z), ce qui arriverait} par exemple, si les forces motrices provenaient d'actions mutuelles entre les différents points de la masse fluide ou si ces forces étaient constamment dirigées vers des centres Cxes. On a dans ce cas

(5) dpTTzpd^.

Il résulte de là que p est une fonction de 9 comme on Ta vu dans le calcul intégral^ il en est de même de p et par conséquent p est fonction de p. Donc en tous les points d'une surface de niveau la densité est constante, puisque la pression est constante.

709. Dans les fluides élastiques on peut déterminer d'une manière générale p et /d en fonction de f . On a, dans ce cas, p=zhp\\e coefficient h dépend de la température : si celle-ci est constante dans toute l'étendue de la masse, k est une quantité constante. Alors, à cause de dp = pc?(y, on a

d'où, en intégrant,

et ensuite

Si la température n'est pas la même dans toute la masse fluide, l'équation (6) fait voir que k est une fonction de y

2g4 COUBSOB MÉCANIQUE.

ainsi que p^ et par conséquent la densité et la température doivent être constantes pour tous les points d'une surface de niveau, mais variable d'une surface à T autre. On aura

Vf

:^CeA\ p.3.? = 5jT

Considérons, par exemple, Tatmosphère qui enveloppe la terre et faisons abstraction du mouvement de rotation de celle-ci. La force motrice d'une molécule m de Fatmosphère est une force toujours dirigée vers le centre de la terre et la même à égale distance du centre. On conclut de la qu'il ne peut y avoir équilibre, si la température n'est pas la même à la même distance du centre, et que les surfaces de niveau doivent être des sphères ayant leur centre au centre de la terre, puisqu'elles doivent être normales en chaque point à la direction de la force motrice.

CINQtJAlTTB-QUATllIÈME LEÇON. 293