DANS LES FLUIDES
Fi^re permanente d*on fluide tournant autour d*un axe.— Pression d*nn liquide sur le fond d'un Tase qui le renferme. — Équilibre de plusieurs liquides contenus dans le même vase. — Vases communiquants. — Principe d'Ârchimède.
FIGURE PERMANENTE d'uN FLUIDE TOURNANT AUTOUll
d'un AXE.
710. Supposons un fluide pesant, contenu dans un vase de forme quelconque, tournant d'un mouvement uniforme autour d'un axe vertical Oz, Au bout d'un certain temps la masse fluide prend une figure permanente d'équilibre qu'il s'agit de diîtermincr. Soient X, Y, Z les composantes de la force accélératrice P d'un point quelconque m, La molécule m décrit une circonférence de cercle autour de l'axe Oz, et sa force effective est la force centripète /Tirot)', tù étant la vitesse angulaire et r le rayon du cercle. D'après le principe de d'Alemberl, il y aura constamment équilibre entre les forces motrices et les forces centrifuges de toutes les molécules du fluide, c'est-à-dire que ces forces ne troubleront pas le mouve^ ment commun de rotation uniforme en déplaçant les moléiules l<3s unes par rapport aux autres. Donc en appliquant à l'élat d'équilibre actuel l'équation (a) du n** 703 et observant que les composantes de la force centrifuge sont mxci)", mjrtù* et o, on a
Or, si les forces motrices se réduisent à la pesanteur, on a
2g6 COURS DE MÉCÂiriQUE.
X = o, Y := o, Z =r — gj eiïl vient
dp=z — pgdz -h p(ù^{xfix'hydjr) ,
d'où, en intégrant et représentant la constante par gpC,
En donnant à p des valeurs constantes, on aura différentes surfaces de niveau. Leur équation peut s écrire
(2) z-C-^-h—lx'-hr).
SP ^ë
Elle représente un paraboloïde de révolution dont la parabole méridienne a pour équation dans le plan des zx
Cette parabole ne change pas de grandeur avec p^ mais la position de son sommet sur Taxe de rotation est variable avec
p, car il est à un distance de Torigine égale à C — — •
71 1 . Les surfaceà de niveau sont donc toujours des paraboloïdes, quelle que soit la formedu vase, et celle de la surface supérieure qui termine le fluide. Dans tous les cas on déterminera la constante C en exprimant que le volume du liquide est donné. Supposons, par exemple, que le liquide soit contenu dans un vase cylindrique ayant pour base sur le plan xOy le cercle dont le rayon est a et que & soit la hauteur de la partie du cylindre occupée par le liquide avant le mouvement. Son volume est 7:0} b. Supposons en outre que la surface libre supporte simplement la pression atmosphérique constante représentée par c Elle sera alors une surface de niveau. Il est facile d évaluer le volume correspondant du liquide terminé par cette surface de niveau en le décomposant en tranches cylin-
GINQUÀNTE-QUÀTIIIÈME LEÇON- ^97
driques ayant Taxe des z pour axe. On aura doue
va^h :t=2ir I zrdr\
en remplaçant z par sa valeur déduite de (2),
on aura une équation qui fera connaitre C. On trouve ainsi
CI 6)'rt*
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