X - - o, Y — o, Z --g dm ou gdm — gpdv
selon que la molécule Jm est au-dessus ou au-dessous du niveau du fluide. Donc on a ) - q étant la sonmie des
2 * quantités de travail des forces motrices dans le temps
gdm — 2 / ffz\gpdv,
\ zd/n — "^SP/ zdvj
la première somme \ zdm comprenant toute la masse
du corps et la seconde seulement la partie plongée. On a donc, d'après le principe des forces vives et u désignant la vitesse de la molécule dm^
(2) \ u''dm =:C-\- !ilg\ zdm — gp\ zdvy
Or \ zdm = Mzi, M étant la masse du corps et Zi le z
de son centre de gravité G. D'ailleurs M = Vp, V étant le volume de la partie immergée, quand le corps est en équilibre. On a donc
(3) \ «rf/w z= Mz, = V/)Z|.
Il faut maintenant calculer \ zd^. Partageons cette somme en deux parties. Tune relative à la partie ÂBCDLi
CINQUÀMTE-CINQUIÈME LEÇON. 3l3
du volume V limiiée à la section ABCD et l'autre à la partie comprise enire ABCD et A'B'C'D'. La première est égale à V«', z^ étant le z du centre de gravi lé H de la masse totale du fluide. En désignant par h la se* conde, on a
(4) N u^dm — C -f- 2grVp (3| — z') — 2g'pX-.
Or soit GH = a. Si l'on projette cette droite sur la verticale du point G, on voit que z^ — is' = zp a cos0, suivant que H est au-dessus ou au-dessous de G. Il faut maintenant calculer h.
Considérons, à cet effet, un élément de surface d\^ en un point m, sur la section ABCD, et projetons-le, par un petit cylindre vertical ïnni\ sur le plan de flottaison A'B'C'D'. Sa projection est d\ cosô. Pour calculer dk ou
la partie ^'à\ zdv relative à ce petit cylindre, décomposons-le en une infinité d'éléments par des plans horizontaux. On aura pour Tun d^ entre eux
dç:i^ dzd\ cosO y zdff =: zdzd'kcosB. Donc, eu posant mm' =^,
dk ---z I zdz dyiCOsQ =: "^ dXcosB,
On peut exprimer j" ert fonction de p et de 6. En effet, abaissons mn == / perpendiculaire sur Ac. Si Ton projette mn sur mm\ on a mm' ovLjr = Ç -f- /sin9, / étant positive ou négative suivant que mn est au-dessous ou audessus de AC. Donc
dA=- (Ç-f./sinOV</XcosO
ou
dA = -Ç'cosO J)i-+- Çsinô cosQ, td\ H — sin'GcosO./'^X. 2 a
^^l4 COURS DE MÊCAVIQUE.
On aura donc
 -r-z - Ç>cos0 V rf). -h Çsin GcosoV /rf).-f- i sm"0 cosO V /* dï ,
expressions où toutes les sommes s'étendent à tous les éléments de la section ABCD. Soient b Taire A6CD et p le moment dMnertie de cette section par rapport à AIC. On a
Donc
/ :^ - ^Ç« cosO H — liistn'O cosO.
Substituant dans Téquation (4)i on a
