V --grpwsin'OcosG ;-i

Nous ajoutons £, parce que dans le calcul de k nous avons pris, au lieu du volume ABCD A' B' C D', celui d'un cylindre vertical ayant pour base ABCD et limité au plan A'B' C D' : de sorte que e est un infiniment petit du troisième ordre au moins.

Maintenant 9 et ^ étant des quantités très-petites, on

peut négliger 6' et (^', et remplacer cosS par i » sin6

par0. En désignant par c la constante C^pa^Vpa, Téquation (5) devient

(6) Su^cini ^c — gpbV-^p (f* =F Va) ô» -+- t.

On détermine c d'après Télat du corps flottant à Torigine du mouvement. On suppose connues les valeurs initiales dc^et de 0, ainsi que les vitesses initiales de tous les points du corps. Comme toutes ces quantités peuvent

ClNQUAHTE'CIIfQVlfeMC LEÇON. 3l5

être prises aussi petiies que Ton veut, il en résulte que la constante c peut être supposée aussi petite qu^on voudra.

731 . Ponr déduire de Téquation (a) les conditions de stabilité de l'équilibre du corps flottant, il faut distinguer deux cas.

En premier lieu, si le centre de gravité G du corps est au-dessoiis de celui du fluide déplacé H, Téquilibie est toujours stable. En effet, l'équation (2) est alors

La valeur de c qu*on détermine d'après les valeurs initiales de jx, ^, 9, qu'on suppose très-petites, est positive et très-petite. Les quantités^ et 6 ne peuvent pas croître assez pour que la somme gpb^* -f- gp (jjl -+-V a) 6*. devienne plus grande que 2c; car si cette somme devenait égale à ac, la quantité £ étant au moins du troisième ordre, le second membre de Téqualion précédente serait négatif et

on aurait \ u*rfm<[o, ce qui est absurde. Il en résulte

que dans le mouvement du système on a toujours

s/lfi' '<\/'j

pif -+-Va) On pourrait démontrer de la tnèçic manière qu'on a

è'f.(fx-f- Va;

l'étant un nombre quelconque plus grand que Tunilé.

Donc, comme c est une .quantité positive très-petite et aussi petite que Ton veut, les valeurs des variables ^ et 0 resteront toujours très-petiles et par conséquLMit le corps s'éloignera fort peu de sa position d'équilibre.

3l6 COURS DE HéCAlflQVE.