Quand le point G est au-dessous du point H, 1 e
quatioii (2) est
tû dm =zc — gp^^' — S? {f- — Va)ô*-he
La valeur de c reste positive si l'on a /!x> Va^ h Torigine du temps. Si (i ou le moment d'inertie de rairc A BCD par rapport à la droite A[C reste plus grand que Va à toute époque, on verra comme précédemment que ô et Ç resteront toujours extrêmement petites et l'équilibre sera stable. Il faudra dans ce cas que le moment d'inertie de la section ABCD, par rapport à une droite quelconque passant par son centre de gravi tel, soit plus grand que Va, parce que dans le déplacement infiniment petit du corps l'intersection des plans ABCD et AB^'CD^'' peut prendre toutes les positions possibles autour du point I. Donc il faut et il suffit que Va soit moindre que le plus petit moment d'inertie de la section ABCD, par rapport à toutes les droites qu'on peut y mener par le point I. La ligne qui correspond à ce moment d*inertie minimum est ordinairement connue. Par exemple, dans un vaisseau, c'est la droite qui va de la proue à la poupe. C'est par rapport à cette ligne qu'il faut calculer le moment d'inertie de la section, et s'il est plus grand que Va, l'équilibre sera stable. Si fx devenait moindre que Va, Téquation (2) ne ferait rien connaître relativement à la stabilité de l'é* quilibre, parce que le second membre n'étant pas nécessairement négatif à une époque ({uelconque, on ne tombe pas sur la conséquence absurde que la somme des forces vives devienne négative, en supposant que p et 9 croissent indéfiniment.
DU MÉTACENTIÎE.
733. Soit S un corps solide flottant. Lorsqu'il est en équilibre, on sait que son centre de gravité G et celui H
du volume de liquide déplacé sont sur une même perpendiculaire au plan de flottaison ABCD. Supposons que ce Fin. «88. corps soit symélriqucpar rap-
port à un plan vertical BLD, lequel contient alors la droite KG H. Imagipons qu'on dérange un peu ce solide de sa position d'équilibre, tout en maintenant vertical le plan BDG. Ce plan contiendra donc toujours le centre de gravité de la masse fluide déplacée. Soit à un instant quelconque A'B'C'D' la section de niveau. Le centre de gravité du fluide déplacé A'B'C'D'L est un certain point H' et le corps peut être regardé comme se mouvant par l'action de deux forces : son poids P appliqué à son centre de gravité G et la poussée du fluide qui s'exerce en sens inverse suivant H' M. Le point M ou la verticale H'M rencontre la droite KGH est ce qu'on appelle le métacentre. Pour avoir le mouvement du centre de gravité, il faut (600) supposer toute la masse du corps réunie en ce point et y supposer appliquées les deux forces verticales dont nous venons de parler. Elles se réduiront à une seule égale à leur difierence. Si le volume de liquide déplacé est toujours égal à celui que le corps déplace dans sa position d'équilibre, ces deux forces sont égales et contraires, et alors le point G devra rester immobile, pourvu que le corps n'ait pas reçu de vitesse initiale. On aura ensuite le mouvement de rotation autour du centre de gravité en le supposant Gxé, ce qui détruira le poids du corps, et la poussée du fluide appliquée en M le fera tourner autour d'un axe horizontal passant par G cl perpendiculaire au plan de symétrie BLD. Mais ici il faut distinguer plusieurs cas.
Si dans ce mouvement le mélacentie reste toujour5 an-dcssus du point G, sur la dioile IIGK, la poussée du fluide tendra constauinicnl à ramener cette droite dans
3l8 COURS DE MÉCAMIQCE.
la position verticale qui répond à l'éqoilibre du corps. Donc cet équilibre est stable.
Si, au contraire, le roétacentre est constamment aadessousdu centre de gravité, la poussée du fluide tendra à éloigner la droite KGH de la verticale, et Féquilibre du corps sera ir\|stable.
Eniin, si le métacentre peut être, tantôt au-dessus, tantôt au-dessous du centre de gravité, la considération seule du métacentre ne fait plus rien connaître relativement à la stabilité de l'équilibre du corps flottant.
