PARTICULIÈRE

748. Quand un liquide homogène est renfermé dans un vase et s'écoule par un oriGce horizontal pratiqué au fond du vase, Texpérience montre que les molécules situées dans une même tranche horizontale à un certain instant, y restent constamment tant qu'elles ne sont pas très-voisines de Torifice : en d'autres termes, les tranches horizontales infiniment minces se remplacent successivement en demeurant parallèles à elles-mêmes. On peut négliger les vitesses horizontales, lorsque les sections varient peu dans toute Tétendue du vase et que leurs dimensions sont très-petites par rapport à la hauteur. Il n'y a plus alors que deux inconnues, la vitesse verticale d'une tranche et la pression, à déterminer en fonction de la dislance de la tranche à un plan horizontal et du temps.

Prenons l'axe des x vertical et dans le sens de la pesanteur. En conservant les notations du n^ 739, nous aurons

dn L équation — = p (X — v!) (740) devienara

, , dp l du du\

et les deux autres équations (i) du n° 74U se réduiront à

dp dy

car on a

Y = 0, p'rr-O, Z = o, «»':rr:0.

On exprimera bien simplement Thypothèse du parallélisme des tranches en égalant la quantité de liquide qui passe par une tranche quelconque à celle qui sort par Torifice pendant le temps dt. Soient tù la section de la tranche à la hauteur x, fî Taire de rorifice et U la vitesse des molécules à cet orifice. Les quantités de liquide qui passent par les aires o) et A pendant le temps dt sont tùudt et Q\^dt : ou doit donc avoir

, . nu .

Les vitesses u et U se rapportent au même temps f . U est une fonction de t seulomcnl, ii une fonction de x et de t. Eliminant u entre (i) et (a), on a

et, en intt'grant par rapport à x,

(4) /'^C-^-^px^pa— / — -p'

aoi"

CINQUAKTE-SIXIÈME LEÇ0:N. 333

C est une quanlîté indépendante de x, mais qui peut être une fonction de t.

Soient P la pression constante exercée sur la surface supérieure du liquide et Pla pression à Torifice. On aura P = P' si tout l'appareil est dans le même milieu. Soient h la distance du niveau au plan des xj et / la distance du niveau à Torifice. On aura p = P pour x = A, d'où

en appelant O la section du vase à la hauteur du niveau, et par suite

(5) /,= P+ffp(x-/o-pn J^ __p__(^___j.

Pour X = A 4- / on a p = P', w =: ïî, et si Ton pose

il vient

— =/7l, P P'=:^pO\

Maïs ici nous développerons deux cas, suivant que le niveau du liquide sera constant ou variable.

niVEAtJ COnSTANT.