MOUVEMENT PERMANENT D'UN LIQUIDE
755. Il peut arriver qu'un liquide soit animé d'un mouvement permanent, c'est-à-dire tel, qu'en un point quelconque la pression soit toujours la même et que la vitesse de chaque molécule qui passe par ce point soit aussi constante en grandeur et en direction; d'où il suit que des molécules qui à des époques différentes occupent une même position parcourent la même trajectoire d'une manière identique.
CINQUANTE-SIXIÈME LEÇON. S.'i^
Le principe de d'Alembert fournit les trois équations
qui expriment que les forces perdues se font équilibre dans la masse fluide; p désigne la pression en un point quelconque m, dont les coordonnées a?,j^, z sont considérées comme des variables indépendantes. La molécule fluide {X qui passe par ce point m, au bout du temps ty a aussi pour coordonnées x^ j^ z à cette époque; et si Ton suit cette molécule dans son mouvement, ses coordonnées deviennent des fonctions du temps et prennent après le temps dt qui succède au temps t des accroissements qu^on désigne par dx^ dy^ dz. Les compo-
1 1 /• rr » d^X d^Y d^Z
santés de la lorce eliective sont-r—j -r—j ---» or, y, z
dt^ de* dt^ ' "^
éiant, comme nous le disons, fonctions de t pour la molécule mobile que Ton considère, ce que nous supposerons toujours dans ce qui va suivre.
En multipliant les trois équations (i) respectivement par dxy dj'y dz^ on obtient
(dxd^x -+- dyd^Y -4- dzd^z) dp =z p {Xflx + Ydf 4- Zdz) - p ^ x-^ajaj^aza z)
ou
(2) dp=zp {Xdx -+- Ydf JrZdz) — ^ (h^
V est la vitesse de la molécule ^ à Tépoque t où elle passe au point /7i, et dp est Taccroissement de la pression quand on passe du point m au point où arrive cette molécule après le temps dt^ la pression en un même point étant toujours indépendante du temps.
Stiru. — iWtx'. II. aa
756. Cette équation peut s'appliquer à un liquide pesant, dont le niveau est entretenu à une hauteur constante et qui s^écoule hors du vase qui le contient par un oriGce pratiqué à sa partie inférieure. On a pour le mouvement d'une molécule quelconque, en prenant Taxe des z vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur,
(3) dpz=zg^dz prff»*.
Eu intégrant entre deux points quelconques de la trajectoire dont les distances au plan des xy soient z^ et r, il vient
po et (>o étant la pression et la vitesse au premier point, p et f/ au second.
757. Supposons que la surface supérieure du liquide soit plane et soumise en tous ses points à une pression égale et constante P^. Si nous faisons dans Téquation (3) z^ = o, po = Po) le premier des deux points que Ton considère sera pris à la surface supérieure du liquide, et Ton aura
Si le vase est percé d^un petit orifice à la partie inférieure à une distance h au-dessous du niveau supérieur, on peut admettre que tous les points qui passent par cet orifice ont la même vitesse t^, en sorte que pour x = A il n'y ait qu'une valeur de v*. En désignant par P la pression extérieure qui s'exerce à l'orifice, on aura
OU
CINQUANTE-SIXIÈME LEÇON. 33g
en posant P^^ — V = gpk^ k devant être positive ou négative suivant que P est plus petite ou plus grande que Po.
On voit que la vitesse u^ doit être la même pour toutes les molécules situées à la surface supérieure du liquide.
Soient 0) l'aire de Torifice et Cl Taire de la section du vase par le plan du niveau supérieur : on a
car la quantité de liquide qui sort du vase par Torifice o) pendant le temps dt et qui a pour expression (ùv^dt^ la direction de la vitesse \f étant sensiblement verticale, est égale à une tranche de liquide située à la partie supérieure ayant pour base Taire îl et pour hauteur i^^dt^ la vitesse x^^ étant aussi verticale.
On a donc
et
d'où
758, Si le rapport —est très-petit, on a à très-peu près
et si la pression est seusiblement la même à la partie supérieure du liquide et à ToriGce, on a
en négligeant l\
aa.
^/\0 COURS DE MÉCÀSIQIJB.
