TUTAU FERMÉ À SES DEUX EXTRÉMITÉS

768. L*état du fluide dans ce tuyau fermé est toujours représenté par les formules (3) en supposant le tuyau et le fluide prolongés indéfiniment dans les deux sens. Mais ici il faut déterminer, pour les valeurs quelconques de la variable Xy les deux fonctions (f (x) et ^ (x), qui ne sont connues que pour les valeurs de x comprises entre o et/, / étant la longueur du tuyau fermé.

U faut exprimer que la vitesse — est nulle pour x = o

et pour a: = /, quel que soit t^ ce qui donne, en faisant

On connaît ^' (l — 2), z étant entre o et l\ donc on connaît aussi f'(/ + z). Ainsi ^' (z) est connue pour les valeurs de z plus petites que a/.

En changeant zexil-\- z dans la seconde équation, elle donne

et comme on a aussi

il s^ensuit

La fonction 9^(2) reprend donc la même valeur, quand la variable z augmente de a{. Il en est de même de «{/' ( — z), car la formule

donne

35o ' COURS DE MÉCANIQUE.

II suit de la périodici lé des fonctions (^' et ^' que la dilatation et la vitesse redeviennent les mêmes en un même point du tuyau à des époques distantes les unes des autres

d'un intervalle T =r — •

769. On peut encore établir ce fait en considérant que Fébranlement initial donne naissance à deux ondes qui marchent en sens inverse et vont successivement se réfléchir aux deux extrémités suivant les lois qui ont été expliquées précédemment.

Après avoir subi deux réflexions et parcouru des chemins égaux à deux fois la longueur du tuyau, elles vien-

nent, au bout d'un intervalle de temps égal à — 9 reproduire, en se composant, l'état initial ; et cet eflet se répétera de nouveau indéfiniment •