OTE I

mêmes n la fin du choc, et qu'enfin les conditions ou liaisons géométriques auxquelles les points du système sont assujettis ne doivent pas changer de nature avec le temps. iM. Poisson a remarqué qu'une explosion ou une production subite de forces qui séparerait brusquement des corps d'abord en contact, doit toujours donner lieu à une augmentation de forces vives dont Texpression est analogue h celle de la perte dans le théotèiue de Carnot.

S'il est certain que ce théorème ne peut pas s'appliquer à tous les changements très-rapides de viiesse, quelles qu'en soient les causes, il ne doit pas cependant être limité exclusivement au cas du choc des corps non élasti> ques. Le présent Mémoire a pour objet principal de faire voir qu'il a lieu dans d'autres circonstances qu'il est utile de connaître.

Considérons un système de points matériels en mouvement, sollicités par des fortes quelconques et assujettis à des liaisons exprimées par des équations entre leurs cooi^ données, qui ne renferment pas le temps explicitement. Soient m, m\ m", . . . , les masses de ces points; x,j^, z, les coordonnées du point m au bout du temps £; x\y\z\ celles du point /m^ etc. : ces coordonnées se rapportante trois axes rectangulaires fixes dans l'espace. Désignons par V la vitesse du point m au bout du temps f, et par a, h y c les composantes de cette vitesse parallèles aux axes fixes desXjjr, z\ soient de même y' la vitesse du point /n' et a! y b\ c' ses composantes, et ainsi de suite. Enfin soient

Lr O, M-.-O, N:"0,...,

les équations qui ont lieu à chaque instant, pendant le temps tj entre les coordonnées x,j^, z,x' , . . . , des points du système, sans contenir le temps explicitement.

Imaginons maintenant qu'à un instant donné, au bout d'un temps /, on établisse entre les points du système de nouvelles liaisons exprimées par les équations

et parmi lesquelles pourraient se trouver comprises les liaisons

L = 0, Mrzzo, N = o,...,

qui avaient lieu précédemment ou seulement quelquesunes d'en ire elles.

A Tinsinnt où Ton assujettit le système à ces nouvelles condi lions, la vitesse de chaque point du système changera brusquement soit en f;randeur, soit en direction. Désignons par i^i la nouvelle vitesse que prendra le point m qui avait auparavant la vitesse (^, et para|,2>,,r, les composantes de •'i. Il résulte du principe de d'Alembert qu'à l'instant où commence le nouvel état du système^ les quantités de mouvement telles que mi'j que prennent les diilérenls points étant considérées comme des forces et prises en sens contraire, doivent faire équilibre aux quantités de mouvement mi^ que ces points possédaient auparavant : de sorte qu'on a Téquation

h) \ m[(a — a,)^x-f- {b — bt)Sjr H- {c — Ci)Sz]—: o,

en désignant par îoc, Sjr^ 5 s, 5a/, ... , les projections sur les axes des déplacements virtuels des points r/i, m% . . . , compatibles avec les liaisons nouvelles

Li = o y M| = o , . . . .

Ainsi Ton peut donner à âx^dy, . , . toutes les valeurs qui satisfont aux équations simultanées

cU ajr (iz dje '

dx dy dz daf

En difTéren liant les mêmes équations Li = o,M| = o, .«

• dx {ly dz

par rapport au temps t, puis remplaçant — • —% — j • • •

356 KOTE I.

parleurs valeurs actuelles ai, i|, C| , . . . , on aura

Ot H — ai H — - c, H -y fl , + . . . = o ,

dx ^ dy ^ dz ^ djd

Au moyen des équations (i) on élioiiuera de inéquation (/i) une partie des variations ix^ Sj, . . . , puis on égalera à zéro les' quantités multipliées par chacune des variations restantes. Les équations qu'on obtiendra, jointes aux équations connues (A), fourniront la valeur des 3n inconnues /7i, &i, C|,. ... , qui n'y entrent que sous forme linéaire. On peut aussi combiner l'équation (/i) avec les équations (i) par les équations

.dU dM ^

m (bi — 0) -- ). — - "h f* -— -

^ t/y ' dy

dont le nombre est triple du nombre n des points nij m', . . . . Ces équations et celles qui précèdent (k) donneront les valeurs des 3n inconnues a,, ^i, Cj , . . . , et en outre celles des facteurs A, |!x, . . . qui font connaître les percussions que les liens du système éprouvent par le changement brusque des vitesses.

Les équations de condition

étant par hypothèse indépendantes du temps, on voit que le mouvement efleclif du système pendant Tinstant dt qui succède au temps t est Tun des mouvements virtuels que les liaisons données lui permettent de prendre. En effet, les équations (/') sont vérifiées si Ton prend Sx^

KOTE I. '^*^7

3y^ ^^' • • proportionnelles aux composantes a,, 6,, c,, a'i, . . . des vitesses réelles. On peut donc remplacer dans l'équation générale $x^ iy, Sz^. . . par^i, 61, c,.. . . . On a ainsi Téquation

qu'on peut mettre sous la forme \ m (a^ -^ bf -h c^)

et comme a — a^ b — é,, c — c^ sont les composantes de la vitesse perdue par le point m, quand on décompose sa vitesse ^ en i'i et U], cette formule devient

\ mv* = \ mv* -f- \ mu],

Elle signifie que si les liaisons d'un système de points en mouvement sont changées à un instant donnée la somme des forces vives acquises avant cet instant surpasse celle quia lieu immédiatement après, d^une quantité égale à la somme des forces vives correspondant aux vitesses perdues dans le passage du premier état du système au second (*).

Quoique la formule précédente soit semblable à celle du théorème de Carnot sur la perte de force vive dans le clioc des corps dénués d'élasticité, les deux propositions reposent sur des considérations assez diiTérenles pour être distinguées Tune de l'autre. Les conséquences suivantes feront mieux ressortir cette différence.

(*) Ce théorème a été démontré par M. Duhamel dans une Note présentée à l'Académie des Sciences en i832 et imprimée en i83.5 dans le tome XV du Journal de l'École l*olx technique.

D'autres démonstrations ont été données en i843 par M. Combes dans la lilho{;raphie de ses Lt^çons de Mécanique faites à TÉcole des Mines, et par M.P.ertrand, dans les Com/;fffireiii/ui de Tannée i8j6(t. XLIII, ^. 1 loS).

^158 WOTE I.

Rien n'empêche de supposer qu*à. l'instant même où Ton établit les liaisons L| ==: o, Mt = o. . . . . le système soit mis en mouvement par des percussions, c^est-à-dire par des forces d'une très-grande intensité agissant pendant un temps inappréciable sur les diiïérenls points m, m\ . . . , et capables de leur imprimer, 5*1/5 étaient libres^ les vitesses t*, i^', . . ., qui se changent en l'i, t*', ,• • • par l'effet des liaisons Lj =0, Mi==05.... Chaque vitesse %^ se décompoiant en ^1 et Ui, on aura toujours

mv] -h \ iwaj.

Considérons de nouveau un système de points en mouvement, 771, /n\ . . . , assujettis à des liaisons L;=o, M = o,... indépendantes du temps ; supposons qu'à un instant donné pour lequel ces points ont les vitesses v^ v' — on établisse de nouvelles liaisons exprimées par les équations Li =0, M| = 0 — , et parmi lesquelles se trouvent comprises toutes les anciennes liaisons. Appelons!'] la vitesse que prendra le point /n, qui avait auparavant la vitesse ^. En décomposant cette vitesse v en i^i et U|, on a trouvé

\ wp' — \ nw] z^\ mil]

On déduit immédiatement des propositions qui précèdent quelques propriétés do mouvement déjà connues, qu'on avait démontrées perdes calculs plus ou moins simples. Par exemple, si l'on considère un corps solide en mouvement autour d*un point fîxe, la somme dos forces vives de tous les points de ce corps à une époque quelconque de son mouvement est toujours plus grande que celle qu'on obtiendrait si, eti conservant à chaque molécule sa vitesse actuelle, on fixait tm point quelconque de

ce corps situé hors de cet axe instantané ou, en d'autres termes, si Ton forçait le corps à tourner autour d'un axe diilérent de son axe instantané. Il eu est de même pour un mouvement initial. Si un corps solide retenu par un point fixe est mis en mouvement par des perciissions, Taxe instantané autour duquel il commencera à tourner sera, parmi tous les axes passant par le point fixe qu'on peut imaginer dans le corps, celui pour lequel la somme des forces vives initiales est un maximum, c'est-à-dire que celte somme sera plus grande que celle que produiraient les mêmes percussions, si l'on assujettissait le corps à tourner autour d'un axe diilérent de Vaxe spontané. Euler et Lagrange avaient dit que la somme des forces vives du corps tournant autour de son axe spontané, devait être un maximum ou un minimum. M. Delaunay a prouvé, par l'application de la méthode générale des maxima et ihinima, que cette force vive est toujours un maximum. Au reste, on obtient aisément celte proposition et une autre encore plus précise parla considération delà surface que M. Poinsot a nommée V ellipsoïde ceutraL

Le principe général donne de même, sans aucun calcul, cet autre théorème du à M. Coriolis.

La somme des forces vives d'un système de points matériels à une époque quelconque de son mouvement est égale à la somme des forces vives que prendraient ces points^ si, élant animés de leurs vites.-^es actuelles, ils venaient à former à cet instant un système de figure invariable assujetti aux mêmes conditions qu'auparavant, plus la somme des forces vives qu'auraient ces points en vertu des seules vitesses relatives par lesquelles ils s'écartent des positions qu'ils occuperaient dans le système solidifié.

La somme des forces vives dans le mouvement que prendrait le système s'il venait à être solidifié dans Tétai où il se trouve à un instant quelconque, et que RL Coriolis appelle son mouvement mojen pour cet instant, peut elle-

36o KOTE I.

même se décomposer en deux parties dont Tune est la force vive qu'aurait la masse totale du système animée de la vitesse du centre de gravité, et dont l'autre est la somme des forces vives qu'auraient les molécules dans. le mouvement relatif ou apparent du système sbiidifié autour du centre de gravité considéré comme fixe.

Soit un système de points matériels en mouvement assujettis à des liaisons quelconques qui peuvent ici contenir le temps explicitement {*). Considérons ce système à un instant donné et supposons qu'à cet instant et pour cette même position du système, on lui donne un autre mouvement quelconque différent du mouvement réel, mais toutefois compatible avec les liaisons données. Cet autre mouvement sera, si Ton veut, purement fictif. On pourra décomposer la vitesse u de chaque point m dans le premier mouvement en deux vitesses, dont Tune Ui soit la vitesse de ce point dans le second mouvement, Taulre composante c«) sera la vitesse /;e/'£/Me ou re/afiVe avec laquelle le point devrait s'écarter de la position qu'il occuperait dans le mouvement fictif (après riustant^f) pour arriver à celle qu'il occupe dans le mouvement réel : le produit fùdt de celte vitesse perdue ou relative par Télémenl du temps peut être appelé le déplacement relatif du point m, ifdt étant le déplacement réel, et »^i dt le déplacement fictif.

Cela posé, la demi-somme des forces vives - \ /nco' correspondantes aux vitesses relatives co, prendra dans chaque instant dt un accroissement égal à la somme des quantités

(*) Dans un système de liaisons L = o, M = o, N = o,. . ., foncttoos du temps, on peut toujours supposer qu'une seule renlerme t explicitement, en éliminant t entre elle et les autres. Mais Téquation des force» vives devient

(;i n'est pas le même que si Ton conservait toutes les liaisons fonctions do temps.) (Noie de U. Sturm.)

de travail élémentaire Ptùdt cos(P, w), dues aux forces extérieures P qui agissent sur les points du système et à leurs déplacements relatifs, plus les quantités de travail (^(ùdtcos (Q, ci>) qu on obtienten considérant les forcesQ égales et contraires à celles qui donneraient à chaque point supposé libre et d*abord animé de la vitesse fictive i^i, le mouvement fictif qu'on a supposé, et multipliant ces nouvelles forces Q par les mêmes déplacements relatifs (ùdt projetés sur les directions des forces : en sorte qu'on a, pour un temps quelconque,

\ OTW» — \ OTwJ

= 2 1 \ Pcos»^/cos(P, «) -f- 2 1 \Qwrf/cos(Q, w),

ci)o étant la valeur initiale de co à Torigine du temps.

Pour démontrer ce théorème (*), nommons a, 6, y les composantes delà* vitesse oi, a^, &i, Ci, celles de la vitesse fictive, ay &, c celles de la vitesse réelle, et X, Y, Z celles de la force motrice P. En conservant les notations déjà employées, on a

ou, à cause de a =:= «i 4- a, t = et -f- S, . . . ,

Mais Téqnation de condition L = o donne

dL dL dL , dh dh ,

dt (IX djr tiz dx

(*) Ce théorème a été aussi démontré par M. Combes (Cours de Slécanique professé à l'Éeole des Mines), Dans rexemplaire qu'il possédait, M. Sturm avait ajouté en marge sa démonstration, que nous reproduisons

irOTE f.

puisque — = û, — = J, . . . , et

puisque les vitesses ai, 6,, ... ., sont oompaiibles avec les liaisons du système à ]*ëpoque /.

Donc, en retranchant les deux équations précédentes, on aura

dtt , . r/L , , -,

— (û - fl.) -h — (* ~ ô.) -^ ■ • • == o ,

-—- OL H 6 -i . . . r:=:0.

dx dy

Donc on peut prendre pour vitesses virtuelles adt^ Sdt. . . . , c'est-à-dire faire

Sx - ade, Sjr rzz ^di^ . . . ,

etTéquation (/) devient

= \ m{aLdcL -h 6û?6 -hydy).

Le second membre est égal à- d\ ma>* et les composantes

de la force O étant — O — ? ? — 0 -r ' — 0 -7-' la ^ormule précédente revient à

r/\ ///oj —aN Pw^^cos(P,w)-h 2% Qwrf/cos(Q, w),

ce qui dcmontre le théorème énoncé.

On peut encore suppos(T dans celte formule que les forces Q soient des forces é£;ales et contraires à rtlh^s qui seraient capables de produire le mouvement Gctif à l'aide

des liaisons données; car on aurait, diaprés le principe de d^Âlembert,

sans avoir

m -7- :=: Q cos(Q, x) . . . .

autrement. On a les deux éqnalions

en appelantXi, Yi, Zi les composantes des forces — Qquî donneraient aux points le mouvement fictif. De là

Maïs on peut prendre Jx = a dt^ dy ^^êdt,, . . , Donc. . . (*).

Cette proposition comprend le beau théorème que M. Coriolis a donné pour l'extension du principe des forces vives ou de la transmission du travail aux mouvements relatifs en vertu desquels les points d'un système animés de leurs vitesses acquises à chaque instant s'écar* teraient des positions infiniment voisines qu'ils prendraient dans le système solidifié. M. Coriolis a fait des applications importantes de son théorème : il en a donné

(*) Application. — Prendre le mouvement d'une planète pour le mouvement réel et le mouvement elliptique pour le mouvement Hclir.

{Note de M, Siurm.)

un autre analogue pour estimer la force vive dans le mouvement fictif, et qui peut aussi être généralisé, comme l'exprime la formule suivante :

d\ mu\ =z i\ Pp, <//cos(P, i^j) — 2 ^ Qo>i/^cos(Q9 m),

qui suppose, toutefois, les liaisons indépendantes du temps. Dans cette hypothèse, en ajoutant les valeurs précédentes de d\ mtù^ et de rf\ m^J, on retrouve l'équation ordinaire des forces vives.

Dans la démonstration de ces formules, on observe qu'en décomposant le mouvement réel de chaque point en un mouvement fictif quelconque satisfaisant à toutes les conditions du système, et en un mouvement relatif, ce dernier peut toujours être pris pour un mouvement virtuel quelconque compatible avec toutes les liaisons données, quand bien mènçie elles dépendraient du temps explicitement. Cette remarque suffit pour déduire de la formule générale du dynamique toutes les équations da mouvement relatif du système, eu supposant connu le mouvement fictif à chaque instant.

Note sur le théorème de la page 353. — La vitesse du point m ne peut varier d'une manière continue depuis v jusqu'à i^t pendant le temps d si les nouvelles liaisons L = o, M = o^ . . . sont indépendantes du temps \ car pour i = o on a

dL dL ,

dx df ^ '

(») \dn dhl ,

—- a -h --- 64-.. $^0, dx dy ^

puisque les vitesses v sont incompatibles avec les liaisons L = o, M =r o, . ., ou r/L =0, rfM = o, . . . .

Mais dans Tinsiant suivant t\ la vitesse devient 1^ et

doit être compatible avec L = o, M = o, . . . , puisque ces liaisons doivent par hypothèse subsister depuis t = Q jusqu'à ^ = 6 et au delà. On a donc pour t = t'

dx dy

Mais, dans les 'formules (i) et (2), — > "t"*'*' ont sensiblement les mêmes valeurs, puisque les points ne sont pas sensiblement déplacés. D^ailleurs la vitesse variant d'une manière continue, v' diffère infiniment peu de v^

a' de /i, V de i et c' de c. Donc -r- a -h -7- J -+- . . . diffère

dx djr

infiniment peu de-— *a'H — — i'-f-..., c'est-à-dire de *- dx djr

zéro, ce qui est faux, puisque les vitesses initiales a, &, c

... . , rfL d\^ m

sont arnitraires, et que par conséquent — an — y b -\- . ,.

peut avoir une valeur quelconque différente de zéro. Mais il n*y a plus aucune absurdité si Ton suppose que les liaisons L == o, M == o^ . . . contiennent le temps pendant le temps Q et deviennent ensuite indépendantes du temps ^ car la liaison L = o peut être exprimée par ç (x, y, z^ x\. , ,)=:t OM ^ [t) , ^ [t) étant très-petit pendant le temps 6 et nul après ce temps, tandis que ({/ [t] a une valeur finie qui s'évanouit après 0. Eu supposant, par exemple,

on aura pour un temps quelconque (depuis zéro jusqu'à Q)

dh dL d.r dh dy

-7-H--; 1 fH-... = 0,

€U dx lit tij' dt

d'où, pour f = o,

r/L d\. dh ^

dt dx dj-

366 woTE I.

T . f^h 2/ dit ^

Ici -r- = 2 7-» el pour £ •= o on a --- = a. Les va-

dt Q ^ dt

leurs de x, j^ z et celles de —, —5 • • • ne varîeni pas

sensiblement pendant l'intervalle de temps 0. Mais —

décroit depuis 2 jusqu\à zéro et au delà de 0 reste nui, puisque L ne contient plus t.

Pour £ ^ d, on a

dh du

On a pour un temps t quelconque

dL ^ dh .

— : — QX -r —7— ^y -î- • • ■ ~~ O-

dJiA dLi ., 1

et comme -T— 9 -r-)*-* restent sensiblement constants,

dx dy âXy dj-, $z sont constants pendant le temps 0 et les mômes qu'à la (in du temps 9. On peut donc prendre $x =:^ Gi dt^ à Y = ^1 dt^ . . . , puisqu'on a ainsi

dh dL

à cause de — = o, c'est-à-dire prendre pour déplacement virtuel pendant tout le temps d le déplacement réel qui a lieu à la fin de ce temps quand L est devenu indépendant du temps. Or on a, en faisant abstraction des forces extérieures,

Intégrant, en supposant dx, d/,*-* constants depuis

HOTB 1. 36-

I = o jusqu'à f = 9,

/7i[(fl, — a) Jx -f-. . .] = o.

Il est permis de prendre $x = «t ^^? ^J" = b^dt^.. : alors

/?;[(«, — fl) a, H-. ..] - o (*).

Férification , méthode înuerse, — Appliquons au point m, supposé libre et animé de la vitesse initiale v

pour i = o, les forces X -r-» î^ -r-' • • • ? M -?-» • • • • On a * dx dy ^ dx

d^x dL dM

di^ dx ^ dx

Supposons que pour un temps /, entre zéro et 0, x,/, z

restent a peu près constants, ainsi que — > —?•••»

quoique L contienne t. En intégrant Téqualion précédente, on aura

. ^L r\ , dM r^ ,

m (rt, — a) r-r — I ^r/r -h — — I fta/ -I- . . . .

Supposons — âx-i- — dy-|-...= o: 5x, dj, . . . resteront constants. On aura

iii[(a, — a)Sx-^ . . .]

m (fl, — «) <î| H- . . . i:zi o.

(*) Cette équation est la premiâre de la paje 353. On en déduit comme ping haut le théorème énoncé. La démonstration précédente avait été indiquée par M. Sturm h M. l*abbé JuUieo. Voir Vroblèmesdâ àlécanique r/Btionaelle, Paris, i855, t. U, p. a55.

Autrement et plus, brièvement on a

Intégrant, on a, puisque Sx, Jj, o z, . . . ne varient pas avec le temps,

et entre les limites zéro et 9

\ [m (fl, — û)^Jî 4-. .] = 0.