MOUVEMENT DE LA TERRE
(LeçoD faite par H. Stiirm à la Faculté des Sciences, eo Julo issi.) [')
Soient X, Y, Z les coordonnées, rapportées à trois asccs
Fig. igi. rectangulaires fixes, de Tcx-
2 s trémilé M du pendule : le
point M est sollicité par deux forces dont Tune est la ré- '« ^ sultan te des attractions des
diverses parties de la terre, ^ tandis que l'autre provient y^ de l'attraction du soleil et des
autres corps célestes. Nommons g et f ces deux forces rapportées à Punité de masse et désignons par g^, g^^ g^^ f ^f ,f leurs composantes parallèles aux axes. En appelant JX, 5 y, dZ les variations des coordonnées X, Y, Z
(*) Nous devons a l'obligeance de M.' Puîscux la rédaction de cette Leçon, sur laquelle nous n'avons trouvé, dan» les papier* de M. Sturm* que des Notes incomplètes.
NOTE li. 369
qui résultent d'un déplacement virtuel quelconque du point M, on aura Téquation
Appelons a, /3, y les coordonnées du centre de gravité G de la terre et x^y, z celles du point M par rapport à trois axes parallèles aux axes fixes menés par le centre de gravité. On aura
et si Ton observe que lescomposaniesy!^, gT^^ • . . » peuvent aussi bien être représentées par^jp, g^,^ . . . , on remplacera Téquation précédente par celle-ci
îd^oL d^x \^ fd'^ d^y A^
Mais si Ton admet, comme nous le ferons, que la force^soit la même en grandeur et en direction pour tous les points de la terre, et si Ton nomme fx la masse d'un point de celle-ci et M sa masse entière, les principes généraux delà dynamique nous donneront l'équation
On aura de même
Par suite réquation établie ci-dessus deviendra
ainsi le mouvement du pendule sera le même que si, le
Stcrn. — Mêc, II. a4
370 WOTE II.
centre de gravité étant immobile, le point M n'était soumis qu'à Tattraction de la terre.
Supposons que Taxe Gz passant par le cenlrede gravité soit Taxe de rotation delà terre (*). Soit P le poiui de suspension du pendule PM5 abaissons du point P sur Taxe la perpendiculaire PK que nous désignerons par r-,
appelons n la vitesse angulaire de rotation de la terre et comptons le temps f à partir du moment où la droite PK se trouvait dans le plan GjZ] les coordonnées du point P relativement à Torigine G seront
Fig. 193.
^r-T rsinnt, y — rcosntf
Jt désignant une constante. Si l'on prend la seconde sidérale pour unité de temps, le nombre u est égal à
ou environ
iSyiS
86400 *, on voit que c^est une petite fraction.
Regardons maintenant le point P comme Torigine de trois nouveaux axes de coordonnées Pxi, P/i, Pzi que nous supposerons emportés avec la terre. Nommons a, &, c les cosinus des angles que Gx fait avec ces nouveaux axes, a', &', c' ceux des angles que fait Gjr^ et a", i", c* ceux des angles que fait avec les mêmes axes le prolongement Gz' deGz, On aura
xr=rsîn/îf-h axi -4- bjri -f- rz„
jr rr: rcOS/it 4- û'Xj -h Ô'^, -+- c'«„
La quantité g, $x -I- g y Sjr-h g^ iz exprimant le mo-
(") Et que les s positives soient dirigées Ters le pôle boréal ; admeUoni de plus que la rotation se fasse de Gj ters G«.
meut virtuel de la force g, conserve la même valeur quels que soient les axes des coordonnées^ l'équation
peut donc s'écrire
gA Sz,=io
fi^x
ri^r
77 «'-^ -^ TT^T ^V -^ TTH- ^^ = S'x. ^-^i -f- 5>i ^7« -+- i?M ^ -• •
di Mais on a
di
Fig. 194.
$x=i aSxi -f- bSXi -+• cSzi,
D'un autre côté, menons par le point P les droites
•PC, Ptî, PS respectivement parallèles à Ga', G/, G^, et dans le plan Pgy) perpendiculaire à Gz, menons PE perpendiculaire à la droite KPF, dans le sens de la rotation.
Les angles des droites PEt PF avec Pxi, Pj^i7 P^i ne varieront pas avec le temps, et Tangle FP/i étant égal à /i/, on aura (*)
a zzz cosa:, PC = cos/i/cosEPx 1 -t- sin/i/cosFPo:,, b = cosT", PC = cos/i/cosEPj^i -i- sin/ifcosFPT',, C'z=: ccsz, PC = cos/ircosEPs, -r- siu/i/cosFPs, ,
a' -- cosjtiPtj =^ — sin/i/cosEPj:, -f- cos/i/cosFPa:,. b' r::! cosjiPïî = — sin/ï/cosEP/, 4- cos/i/cosFPt-,, c' =. cosziPti =^ — sin/ifcosEPsi •+■ cos/i/cosFPz,:
a^, b^\ d* sont 'indépendants du temps.
(') La première de ces équations, par exemple, s'obtient en prenant
sur PÇ une longueur égale à l'unité; en la projetant sur ox,, on a a; mais
on peut aussi projeter, au lieu de Pf, ses composantes suÎTant PE et PF.
Ce qui donne
coiii<cosEPr^H-ainii< cosFPx^.
i']'^ HOTE H.
On conclut de ces formules
da , db de ,
-di^""' •^=''*' Â="''
rfa* rffi' , fie'
-^ = -nu, -^ = -nl>, -^ = -"0.
L'équation
X =z r sin nt -\- «j-j -h ùji -4- «, ,
nous donne par suite
di </r , , dvi dix , ., ,
—-z=:nrco%nt-\-a—. — hb—---\-c \-nn'xy'\-nb Y\ -4- /wr «,,
dt dt ut dî
d'x ^ . d'^Xx , rfVi d^Zx
— — — — /iVsin/ï/ 4- a -rr + * -fT^-+-^ "rdt' dt^ dt^ dt
.dxx ,,dyi .dz'i . ,
-t- 2 /la —--4- inb'-^-\- une rrax^ — n^bjTx — «'«|.
dt dt dt
On aura pareillement
-T^ = — «Vcos/?/ 4- <i' -— r 4- ^' -~r -4- «: -r-' €/r^ £/r» fl?/» dt^
dxx , fl?K, flfei ^ . ,,
— 2/îa-7 2/16—; T.nc—, tOaxx—n^b'Yx — «'",,
et de plus
dH „ d^xx
dyx ^„ d^zx ^
dr dt^
dt^ dt^
Observons maintenant que les coordonnées X], j^i, Zx du point mobile M doivent vérifier l'équation
xî4-jî4-z; = /s
/ désignant la longueur du pendule : il en résulte
Xx . ^1 » ^1 a
-- Sxx 4- y 9jrx 4- - OZ, = O.
Ajoutons cette équation multipliée par un facteur in-
détermine X à Téquation
<Px d^Y d'*z
dt^^'^'^'^^^'^dP^^'' ê'»! ^-«^i - Sri ^Ji - é'*, ^^> = o, et remplaçons dxj iy^ (îz, -y^j -^j ^-^ par les valeurs qu*on vient de trouver. Nous aurons
d^Xx ,d^Y\ d^Zx ,dxx ^,dr\ ,dzy
dt^ di^ dt^ dt dt dt
— ri^axx — fOhyx — ti^cz^ — /î'rsin/i/ J X [a^x, 4- h^y^ -h c^«,)
,£^x, .;rf'j, , .d'Zy dxx .dYx dzx
a'—r---'\-b —f- — \'C-TT — 'i-na—, 2/16»—; 7.nc—--
dO di^ di* dt dt dt
— n^a'xx — n^b'xt — /i^c'z, — /sVcos/i/j ("' S' +*" ^ —• ^) («'*-. + *"*r. -f- CJz. )
n'~^Xx-h■-J^Syl'h-J^^^i—g*^9'^l^-ffri^Jt--gz,Sz^=Q.
Nous pouvons maintenant dans cette équation égaler séparément à zéit) les coefficients de âxt^ dj^ âz^^ et si nous avons égard aux relations connues
ôc4-^'c'-f-^"c''^o, oc + flV H- tf"c" = o,
*c' — cl/ =z a'', ca' ^ac'z= h\ ab' — ha' = c^,
et aussi aux formules
a ûxint -f- a' cos/?/ =3 cosFP.r, , ^ sin/if -+- 6' cos 72/ = cosFPj, , c sin/ir -4- d cosnt =. cosFPzi j
IfOTE ir.
nous trouverons
—— -f- inc"
dt^ dt
d^Xi ^ » dx^ dZy
dt' dt dt -^
-— h 2/îO — ;: una — -, n^z,
dt* dt dt
Ces équations ne diderent de celles du mouvement d'un
Xj* "ky ^« point libre que par les termes -t-^î -y^, -—^ qui pris en
signes contraires expriment les composantes parallèles aux axes PjTj, P/i» P«i d'une force X dirigée dans le sens MP suivant le fil qui supporte le point M. La tension de ce fil est donc égale à X.
II est aisé de reconnaître que dans les trois équations du mouvement obtenues tout à l'heure les termes en n*, pris en signes contraires, représentent les composantes de la force centrifuge du point M due à la vitesse de rotation n. En effet, soit I la projection du point M sur l'axe de rotation Gz ; le quadrilatère PMIK projeté sur l'axe Pxt nous donnera
KP cosFP X, 4- PM cosMP.r,
-4- MI cos (MI, Jî, ) -f- IK cos(IK, x.) = o,
ou bien, en observant que l'angle (IM, Xi) est le supplément de (MIyXi),
MIcos(IMy X,) = rcosFPjCi -h Xi — a''(a*'x, 4- ^Vi + <^*i)»
WOTE II. 3^5
et par suite
/i'Mïcos(lM,x,) = /iVcosFPjt, h- rt'x, — /i»fl^(fl"x, 4- ^"ji + c^'z,).
Or le premier membre est la composante suivant Pxi de la force centrifuge du point M due à la vitesse de rotation n : les termes
qui se trouvent dans Téquation en -— ^ expriment donc
cette même composante prise en signe contraire.
Appelons J' la force centrifuge pour le point M et fx^'i frxt f*t SCS trois composantes parallèlement aux axes PoTt, Pj^i, P^i ; nos trois équations pourront s'écrire
Les quanti tésy;, 4- ^x., />, -H ^^i' /. "^ S*x s^m les composantes de la pesanteur apparente au point M, c'està-dire de la résultante de Tattraction de la terre et de la force centrifuge. Désignons-les par /7,^, p^^^ p,^, et les trois équations précédentes deviendront
d'^x, >xi , „ dy^ dz,
dV l dt (j^t ^^' '
Jusqu'à présent nous n'avons pas déterminé les direc-
376 WOTE II.
tions des axes des Xi, j^i, Zi : supposons maintenant qu^on fasse coïncider Taxe des Zi avec la position d'équilibre Pm du pendule (*). Les équations précédentes doivent être vériGécs lorsqu'on suppose le pendule en repos dans cette position ] si l'on observe qu^ alors on a Xi = o, j^i = o, Zi = o, et si l'on appelle P la valeur correspondante de ), on aura pour le pendule en équilibre
On voit par là que la tension P du fil dans la position d^éqrilibre se confond avec la pesanteur apparente /> au point m. Si maintenant on néglige les variations que cette pesanteur apparente éprouve en grandeur et en direction dans l'étendue des excursions du pendule, on pourra dans les équations du mouvement remplacer p,^ par zéro^ Pj^ par zéro et p,^ par p : elles deviendront, à ce dc^ré d'approximation,
-7—- H — -- -4- in(r ~ ^nb" -— = o,
dt^ l di de *
-2/ic^— -H-2iia''— = 0,
dt^ l dt dt
La pesanteur apparente est, comme on l'a dit, la résultante de l'attraction de la terre et de la force centrifuge. Si l'on regarde la première force comme constante en grandeur et en direction dans l'étendue des excursions du pendule (et en effet, ignorant la constitution
(') Nota, On doit remarquer que la direction Pm du pendule eo équilibre est celle de la verticale ou delà pesanleur apparente au point m, mais qu^elle est généralement différente de la direction de la Tèrtiealeao point de suspension P. L^écart de ces deux Terticales explique la deriition entre I^est et le sud qu*on observe dans la chute des corps qui tombent d^uue grande hauteur.
intérieure de la terre, nous ne savons pas apprécier les variations que cette force éprouve) ; mais qu'on veuille tenir compte des variations qu'éprouve la force centrifuge dans les mêmes limites, on pourra encore regarder ^r.9 gj^'i gtt comme ayant toujours les mêmes valeurs que dans la position d'équilibre, mais cela ne sera plus permis
Pour nous débarrasser des quantités gj,^^ gj^^ g^^^ écrivons que les équations du mouvement, telles que nous les avons obtenues d'abord, sont vérifiées lorsqu'on y suppose à ^15 J'ij ^1 les valeurs constantes Xi = o, ji = o, ^1 = /. Il nous viendra
n^a"(fl — «'rcosFPj:, — ^,, nz o, n^b^cfl — /zVcosFPjr, — g>, ^ o,
P — n^l 4- /l'c"*/ — «V cosFPzi — é''i — o-
Tirons de là les valeurs de gx^^ gj^} g^^'i et regardons-les comme convenant à une position quelconque du point M : alors nous pourrons les substituer dans les équations du mouvement, et elles deviendront
- , , H — -4- inc' —■ inb" -y
dt^ L dt dt
dt* . / di dt
- //V. -f nH''{a"x, -+- ^O'. 4- ^"(^i - ')] == o>
^/, -H -7- -^ inb" — ina" -j-
dt^ l dt dt
En négligeant les termes en ti*, on retrouverait les équations qu^on a obtenues tout à l'beure eu négligeant les variations de la force centrifuge.
Concevons le plan passant par la position d'équilibre
'i'jS NOTE II.
P/n du pendule et par une parallèle à Taxe de rotation de la terre ^ c*est ce qu'on appelle le plan du méridien pour le point m. Prenons Taxe des Xi perpendiculaire à ce plan, on aura a" = o, et si Ton fait
6" m C0S7, c^ii^siny,
Fanglc y sera la latitude du point m. Les équations précédentes deviendront, en supprimant les indices des lettres x^ y^ «,
— j.i:-4-2/isin7-^ — ^/icoS7-;--|- des termes en /i'=:o,
dt* l ' dt ' dt
d^ Y X V djc
— ^-\-- 2ns\nf-r -h des termes en /i* = o,
de' l ' dt
-rr H — : P -h 2/1 C0S7 -^ -h des termes en /?*:= o,
dO l ' dt
et en négligeant les termes en /i* ou les variations de la force centrifuge,
d^x \x , r/r dz
—, 1 — r- -+- a/ism7 -^ 2/1COS7 — = o,
dt^ l * dt ' dt
d^Y \y . dx
d^z \z ^ dr
Bornons-nous à ces dernières équations*, si la terre était immobile, de sorte qu'on eût /i = o, elles se réduiraient à
d^x \x d^r Xr d^z "kz
— r -h -r = o, -pr H--f — O, — --|----— P— o.
dt^ l dt^ l dt^ l
Admettons de plus que le pendule s^ccarte peu de sa position d^équilibie, et regardons x Gt y comme de trèspetites quantités du premier ordre; en vertu de l'équation
X» -4- 7^ -4- ** = />, z ne différera de / que de quantités du second ordre, et etf
WOTE tî. 379
les négligeant la troisième des équations ci-dessus nous donnera X = P ^ par suite les deux autres deviendront
di^ i ^ dt^ l
Ne supposons plus maintenant n = o, mais regardons n comme une petite fraction; nous allons montrer qu'on a encore deux équations semblables aux précédentes, mais par rapport à des axes qui tourneraient uniformément autour de la verticale Vm du point m. En elfet, la troisième équation du mouvement nous donne
d.T > =r P — 2» COS7 -7- ;
' dt ^
portons cette valeur dans les deux autres et négligeons-y les termes du second ordre ; elles deviendront
d^.r P.r . dr
—, ( h 2/î Sinv -^ zr: G,
dt' l ' dt
d^x Vy , dr
-— r H — -, 2/isin7 -7- --— o.
dt^ l ' dt
Imaginons maintenant dans le plan P^i^i deux droites rectangulaires n\obi]es P^, "Pn tournant autour du point P avec la vitesse angulaire constante n sin y = A : si nous appelons ^, n^ z les coordonnées de Textrémité du pendule par rapport aux axes P^, Pr], Pz, nous aurons
X = Ç^os kt — )j sin /-/, 7=5 sin kt -\- m ces Xr,
et en substituant ces valeurs dans les équations précédentes, puis supprimant les termes qui contiennent le produit de 71* ou de k* par des quantités du premier ordre, il viendra
fd^li PÇ\ . , fd'n Piï\ ,
38o KOTE m.
d'où
£fÇ PC tPn Pu
équations pareilles à celles qu'ofi avait trouvées dans la supposition de la terre immobile. Ainsi en supposant l'amplitude des oscillations très-petite, la projection horizontale de l'extrémité du pendule se mouvra sensiblement par rapport aux axes mobiles PÇ, Ptj comme elle le ferait par rapport aux axes Vx^ , PjKi si la terre était en repos. Si donc chaque oscillation est à peu près plane, le plan dans lequel elle paraîtra s'accomplir tournera autour de la verticale avec la vitesse angulaire n sin y.
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU UOUVBMENT RELATIF, Par M. A. de Saint-Germa».
Le mouvement relatif d'un point matériel, par rapport à un système d'axes ou de points de repère dont le mouvement est bien connu, peut toujours se déterminer comme un mouvement absolu, à condition d'adjoindre aux forces qui sollicitent réellement le mobile certaines forces fictives, dites ^brce^ apparentes, dont nous allons donner, d'une manière générale, la grandeur et la direction. Cherchons d'abord l'accélération totale d'un point, connaissant le mouvement relatif du point et le mouvement du système de comparaison, qu'on appelle mow^ ventent d' entraînement.
Soient, à une époque t, x, j', z les coordonnées absolues d'un point M; x^j^o ^\ ses coordonnées relatives à trois axes rectangulaires OiOTi, Oi^'i, 0|Z|, que je prends pour lignes de repère.Les premières ont en fonc-
iroTE III. 38 1
tion (les secondes des expressions de forme connue :
X = a -^ aar^ -4- by^ -h cz^^ jrzzzP-^ a' JTi 4- b'x^ -f- c'2j,
a, |3, y, a, £, ... sont des fonctions connues du temps qui définissent la position des axes mobiles. La vitesse v du point M a pour projection sur l'axe des x
î dx doi dn tlh de
dt - 7i7 '^'"'Tt "*''''' 'dt'^''Tt
dxx , dr* dzi
dt dt dt
Les trois derniers termes représentent les projections des composantes, parallèles aux axes' mobiles, de la vitesse relative Ci ; leur somme est donc la projection de ^'| . Quant aux quatre premiers termes, leur somme est égale à la projection de ce que deviendrait (^ si Xo JU^ Z\ étaient constants, c'est-à-dire de la vitesse d'un point qui coïnciderait avec M à l'époque t, mais ne bougerait pas par rapport aux axes de comparaison ; cette vitesse s'appelle vitesse d'entraînement.
Les projections de la vitesse absolue sur les axes desj^ et des z peuvent se décomposer d'une manière analogue à la précédente; cette vitesse se déduit de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement comme la résultante de deux forces se déduit de ces forces ; suivant l'expression adoptée en Géométrie dans un sens général, la vitesse absolue est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement. Ilsufiit de considérer le triangle dont les trois côtés représentent ces vitesses pour voir que la vitesse relative est la résultante de la vitesse absolue et de la vitesse d'entraînement changée de sens.
Le mouvement des axes mobiles peut être regardé
382 KOTE III.
(§ 659) comme résultant de deux autres : un mouvement de translation, dont la vitesse est à chaque instant celle du point Of, et un mouvement de rotation, qui se fait à Tépoque t avec une vitesse ct) autour d'un axe instantané O4 1. La vitesse d'entraînement peut être regardée comme la résultante de deux vitesses dues à ce double mou> vement : la première, dont les projections sont
r/« r/j3 dy
di' di^ d£^
correspond au mouvement de translation ; )a seconde a f)our projections
da db
de -^'' dt'
da' db'
"« dt -^•^' dt
de'
-^'^ dt'
dn" db" ^' dt -*--^' dt
. c'est la vitesse que la rotation co donnerait à un point coïncidant avec M et lié au système 0|X«j^|Z|. Rappelons qu'on a trouvé (§ 649), pour ses projections sur les axes mobiles,
(3) 9^1 — /"Ji, rxi-^pzu prx—q^u
' PiÇ^y étant les composantes de la rotation instantanée ci). La projection de l'accélération <p sur l'axe des x s'obtient en diflerentiant l'équation (1) ;
fl^x d^a d^a d^b d*c
'dF'^'dF'^^''dF'^^'''dF'^^'dF
d*jr* , d*rx d*Z4
dt* dt* ^ dt""
(d.f'i da dy^ db dz^ dc\ dt ~ât ^ dt ' ~di dï)
En se reportant à ce qui a été dit pour — » on voit que
la somme des quatre premiers termes représente la projection de Taccélération d'un point coïncidant avec M à l'époque «, mais lié invariablement à 0« x^ y^ z^ : c'est l'accélération d'entraînement ; la somme des trois suivants esi égale à la projection de l'accélération relative ; nous dirons que le trinôme iinal, qui est multiplié par 2, représente la projection d'une accélération complémentaire. M. Gilbert a remarqué que ce trinôme se déduit de la première des quantités ( a) en y remplaçant X\, yi, Z|
dxt dY\ dzx , j , • • j 1 •
par — j -^> —\ c est donc la projection de la vitesse
que la rotation co imprimerait à un point H dont les coor-
données par rapport à 0\X^ , O^y^ , 0| z^ seraient -—%
-~» ~\ on voit que 0|H représente la vitesse relative
de M.
Les projections de ^ sur les deux autres axes donnent lieu à des résultats analogues ; donc l'accélération totale est la résultante de l'accélération d'entraînement, de l'accélération relative et de l'accélération complémentaire ; celle-ci est égale àawi'i sinlO^ H, perpendiculaire à l'axe instantané et à la vitesse relative; enfin elle est dirigée dans le sens où la rotation tend à entraîner le point H, c'est-à-dire vers la droite de 0\ H pour un observateur dirigé suivant l'axe de la rotation instantanée.
Le polygone qui permet de construire l'accélération totale à l'aide de ses composantes montre que l'accélération relative fi est la résultante de tf et des accélérations d'entraînement et complémentaire prises en sens contraires ; ces accélérations ainsi changées de sens s'appellent acce7e>at<o/i d'inertie d'enlrainement et accélévation centrifuge composée; désignons-les par y' et /.
La dernière, perpendiculaire à IO4 H, est dirigée à gauche de Of H par rapport à Taxe de la rotation instantanée ; ses projections sur les axes mobiles se déduisent des formules (3) en y remplaçant x^yj^, z^ par -^j -~^j -— i,
changeant les signes et multipliant par a. Les projections de y' ne peuvent se calculer d'une manière générale.
Supposons maintenant que le point M soit un point matériel de masse m\ pour lui donner un mouvement absolu tel que ses coordonnées par rapport à des axes fixes soient à chaque instant égales aux fonctions de { que nous avons appelées x^j j^^ z^j il faut faire agir sur lui une force égale à mcfi et placée par rapport aux axes fixes doilt il vient d'être question comme f 1 Test par rapport kO^x^j^z^, Construisons un polygone dont les côtés soient parallèles à cp, ^4 , f', ^^ et égaux à ces accélérations multipliées par m; la force m^ i, qui donnerait au point M un mouvement absolu identique à son mouvement relatif, est la résultante de trois autres : i** une force parallèle à cp et égale à mcp : c'est la résultante F des forces qui agissent réellement sur M; a» une force P parallèle à 9' et égale à m^' : c'est hi force d'inertie d'en^ traînement, égale et de sens contraire à celle qu'il faudrait appliquer à la masse m pour qu'elle ne bougeât point par rapport à O^ X|/i z^ ; 3** une force F*'= /iiç*, parallèle à ^', appelée force centrifuge composée. En supposant que M soit sollicité, outre la force F, par F' et F'', ditesybrcej apparentes, on peut déterminer son mouvement relatif comme un mouvement absolu; cet important théorème est dû à Coriolis.
Soient Xi, Y| , Zi les composantes de F suivant 0| Xi, 0,7,, 0,-2?i; X',, Y,, Z\ celles de F; les composantes de F" se déduisent de celles de (f en les multipliant par m, et l'on a, pour les équations générales du mouvement
NOTE m. 385
relatif,
La force centrifuge composée s'annule quand le point M est en équilibre relatif. Or, pour maintenir un point pesant en équilibre apparent à la surface de la Terre, il faut lui appliquer une force dirigée suivant la verticale ascendante et égale à son poids : c'est dire que l'attraction de la Terre et la force d'inertie d'entraînement ont pour résultante la force que nous appelons le poids du corps, et, pour étudier les mouvements apparents des corps à la surface du globe, il suffit d'exprimer qu'ils sont soumis à la pesanteur, aux forces particulières qui agissent dans les cas considérés, enfin à la force centrifuge composée. Prenons pour axe des X| la tangente au méridien dirigée vers le nord, pour axe des j^i la tangente au parallèle dirigée vers l'est, pour axe des ^|.la verticale montante; soient X la latitude du lieu, n la
vitesse de rotation de la Terre, Tr^-rrr = o, 000078, dont
l'axe est dirigé -vers le sud; /?, q, r sont respectivement égaux à — /zcosX, o, — «sinX. Si X|, Y|, Z^ désignent les composantes de la force qui sollicite le point, indépendamment de son poids, les équations du mouvement apparent à la surface terrestre sont
m — r-T" =: Xi — 2 mn sm A — -- 9 dt^ dt
m — --- = Y- -I- 7.mn ( sm A cosX ~ \ 9
dt* \ dt dt 1
»» — TV = Zi — /?I2:-4- 2/7I/ICOSA---•
SiztiU, — Méc, II.
.'586 KOTE IV.
On en déduit la déviation vers Test des corps aban* donnés à leur poids et le mouvement du pendule exposé dans la Note précédente.
NOTE lY.
