ÉQUATIONS DB L4G11ANGE. — ÉQUATIONS CANONIQUES

Par M. A. de Sa»t-Gbriiain , Professear à la Facalté dos Sclencoi d« Caeo.

Equations de Lagrange,

On a vu dans la XXXVI* Leçon que le mouvement d'un système de k points matériels sollicités par des forces données peut être déterminé, en vertu du principe de d'Alembert, par l'équation générale

ixf âyy âz sont les projections d'un déplacement virtuel quelconque compatible avec les liaisons du système, que je suppose exprimées par fi équations de condition

Souvent le moyen le plus simple de faire connaître à un certain instant la position des divers points du système n'est pas de donner leurs SA* coordonnées rectilignes; mais on peut considérer n variables, 174, q^* •••«

(*) CeB questions, récemment introduites dans le programme de la Licence, forment an complément immédiat à la Leçon XXXVI de Starm.

WOTE IV.

qni dont les valeurs déterminent d*une façon plus claire Tétat du système. Il faudra que les anciennes coordonnées puissent s'exprimer en fonction des nouvelles inconnues par des relations de la forme

(3) j^=/(/,yi, yj, ...,^»), jr=^f\[f^qu'",^ •••;

îi> 72» •••> ^/i seront liés par tî — (3 A — |ui] équations de condition telles que, si Ton en tient compte après avoir remplacé dans les équations [^) Xj jy z, ... par leurs valeurs (3 ), on ait des identités. Généralement n est égal kih — fjiy les variables q sont indépendantes et constituent les coordonnées qui définissent de la manière la plus simple la position du système considéré.

Il s'agit de voir d'une manière générale comment se transforme l'équation (1) lorsqu'aux coordonnées or, j% z, ... on substitue q^j q^, -", qn* Cette transformation est effectuée très heureusement dans le Livre II de la Mécanique analytique ; je ne reproduirai cependant pas exactement îes^calculs de Lagrange, parce qu'ils sont faits dans l'hypothèse où les fonctions (3) ne dépendent pasexplicitement du temps et parce que je ne veux pas invoquer les principes du Calcul des variations, dontSturm n'a pas fait usage dans ses Leçons. Représentons par des lettres accentuées les dérivées prises par rapport au temps et par d la caractéristique des dérivées partielles ; considérons, avec Lagrange, la demi-force vive du système

T=y^iw(x'»-h/«-h2'*);

nous en tirerons

dx'' dt^ dtdx'

ce qui permettra d'écrire Téquation (i) sous la forme

V /. ^ <^T ^ d dT ^ d àT\

Pour effectuer notre changement de variables, nous tirerons des équations (3), en traitant t comme une constante,

^ dx . dx . àx ^

àqx dqi ^ Ôqn

. àz

oz = -z — o<7î ~H . . . • âqt

Si Ton remplace ix, djy . . . par ces valeurs dans le second membre de Téquation (4)i et si dans les expressions de X, Y, Z on substitue k Xy y^ z leurs valeurs (3 ), on trouve sans artifice particulier la nouvelle exprès- .sion du travail élémentaire virtuel:

Le premier membre de Téquation (4) devient

ISfl

le second Z s 'étendant aux 3/r coordonnées rectilîgnea. Calculons le coefficient de iqi^

Vif ^il — ^V— iî V— ^ —

Zj àqi dt dx! tU 2u àqi àa^ Zdàxf dt àqt

les z s*ctendant toujours aux 3 /r coordonnées. Les deux parties du second membre vont se simplifier grâce aux

valeurs de-r— et de sa dérivée par rapport au temps. Dîfférentions les équations (3) par rapport à cette variable : ia\ B àx dx , dx , dx ,

Cîomme les fonctionsyet leurs dérivées partielles ne con • tiennent pas les ^, il en résulte que a/ est fonction linéaire de ces quantités et que

dx' dx

Ôq'i "" dqi

T, fonction des j/, j'y z', devient, quand on remplace CCS dérivées par leurs valeurs (6), fonction des q et des 7', et Ton a

dT dx V <JT dx' dl

^'^ 2ddx'dqi'^2d

dx' dqi ^ dx' dq'i dq'i

Prenons les dérivées des deux membres de Téqualion (6) par rapport à qi:

dx' d^x d^x , d^x ,

7i-t-.. »+ .^ . qn'

dqi "" dtdqi dqxdqi * " " ' dq^àq^

En intervertissant Tordre des dérivations, on a dx' d^x d^x , d*x ,

'dqt'" dqidi dqidqi ^* '" dqjdqi,^'''

Le second membre est la dérivée par rapport à t de

-^ supposé exprimé en fonction de q^ , qjy . . . , ^a et r ;

donc

V— - ^-g Y àT dx' drï

^dx dt dqi ^dx[ dqi dqi

Cette relation, jointe à l'équation (7), nous donne la valeur du coefficient de iqi dans la transformée du pre-

SgO NOTE IV.

mier membre de Téquation (4) ; si nous tenons compte de Téquation (5), qui transforme le second membre en fonction des qty nous pourrons écrire l'équation cherchée, en faisant tout passer dans le premier membre, sous la forme définitive

On tirera des équations auxquelles satisfont ^^ 73, ... les valeurs de quelques-unes de leurs variations en fonction des autres, on les substituera dans Téquation précédente, et Ton égalera à zéro les coefficients des varialions qui restent et qui sont indéterminées* Le plus ordinairement, q^y 92* • • • * ^n sont des variables indépendantes, et Ton doit égaler à zéro le coeHicient de chaque variation dans Téquation (8) ; le mouvement du système est déterminé par n équations simultanées qu'on appelle les équations de Lagrange :

7t dq\ ôTi"^'" ""'

d dT ^T

d dT (?T

dt Ôf/^ dqn

Quand on aura choisi les inconnues les plus propres à définir Tétat du système à un instant quelconque, on formera l'expression deT, puis celle de Q«, Qa, ..., Q„, et l'on aura un procédé uniforme pour mettre en équation un problème quelconque de Dynamique; on ne s'occupe pas des forces qui représenteraient reflet des liaisons, mais ces forces se calculent aisément, une fois le mouvement connu.

WOTE IV. 891

Il arrive souvent que la somme des travaux virtuels S (X Jx -f- Yî^ -4- Z Jz ) est la variation exacte d'une fonction U des coordonnées des points mobiles ^ si dans U on remplace x^ y, z, ... par leurs valeurs (3), cette fonction, àile fonction des forces, dépendra de t et de 7o ^2» • • • 9 ?/i) sa variation, prise en traitant t comme une constante, sera égale à Qi }^| + . • • • Donc on aura, dans ce cas,

àqi dq

On obtiendra Q^ Qa, ... en difTérentiant la valeur de U exprimée au moyen de £ et des ^, sans être obligé de transformer directement S(X Jx +...), etles équations de Lagrange deviendront

àqx

àqi

ÔIJ

àqt

dgt'~

Nous allons montrer qu'en supposant les liaisons indé* pendantes du temps, c'est-à-dire les fonctions (3) indépendantes de t, ces équations donnent l'équation des forces vives. Ajoutons-les après les avoir multipliées respectivement par dqi, dq^y • • m dqny et nous aurons

Mais, puisque -^> -^î •• • sont nuls dans rhypùliôse admise, en se reportant aux valeurs (6) de a/, j', . . . , on

voit que T est une fonction homogène du second degré des q\ et le théorème des fonctions homogènes nous donne

La dernière équation équivaut, on le voit sans peine, à

aéfT — €fr — «fU = o ;

l'intégrale est celle des forces vives, T — U = const.

Nous allons appliquer les équations de Lagrange à la résolution de quelques problèmes particuliers.

Pendule conique.

Reprenons la question traitée dans la XLIV* Leçon sur le mouvement d'un point pesant soutenu par un fil ou par une tige inextensible et sans masse qui l'oblige à rester sur la surface d'une sphère de rayon /. Les coordonnées rectangulaires du pendule sont assujetties à la condition

On peut définir la position du pendule par l'angle d de sa tige avec la verticale et par l'angle ^ que le plan vertical contenant cette tige fait avec un plan vertical fixe. Les variables q de la théorie générale se réduisent à deux,0 et tp. Une transformation de coordonnées bien connue donne a:, ^, z en fonction de 6 et ^ :

[Zbis] Jf^z/sinôcos^», ^=:/sinÔsin^, s = /cos6.

On vérifiera que ces valeurs satisfont identiquement à l'équation (2 AiV). On obtient la demi-force vive T en calculant a/, j/, sf par la différentiation des équations (3 bis) ou en se rappelant l'expression de la vitesse en

NOTE IV, SgJ

coordonnées polaires ; si Ton suppose la masse du pendule égale à Tunité, on trouve

T = -(/«Ô'«-H/«sin«i?f«).

On forme les dérivées partielles

La fonction des forces U existe : elle est égale à

gz=:glcos9; donc

Nous avons tous les éléments, pour former les équations (10) du paragraphe précédent, et nous trouvons

— 1*0' — P sine cosôf » + glsinO = o.

La seconde donne /2sin2e^'=C; si l'on en tire ^ pour le substituer dans la première, celle-ci devient

at l* sur ô ' En multipliant par 2 rf9, on peut intégrer et l'on trouve

/* sin* 6 ° '

,^ ±l^s\nOd$

V/C /* siii«6 -f- -xgi^ cosô sin^i' — C*

Il serait avantageux d'étudier le mouvement en cherchant comment varie 0; mais, si dans la formule précé-

3g4 »OTE IV.

dente on remplace /cos0 par z, IsinbM par — dz^ l- s\n^6 par /• — z', et C par 2g{ho — Zo), on retombe sur Téquation (5) du § 578, dont les conséquences ont été développées dans le texte de Sturm.

Mouvement d'un point à l'intérieur d'un tube.

Nous nous proposons de déterminer le mouvement d'une très-petite sphère placée dans un tube rectiligne parfaitement poli, dont le diamètre est égal à celui delà sphère, et qui tourne uniformément autour d*un axe horizontal.

Nous n'avons encore qu'un seul point mobile, mais il est assujetti à une liaison qui change avec le temps, puisqu'il doit rester sur une droite qui se déplace suivant une loi donnée. Soient a la longueur de la perpendiculaire commune OA-au tube et à l'axe de rotation, cf l'angle de ces deux droites. A un moment quelconque on connaît la position du tube, et, pour déterminer la position du mobile M, il suffirait de connaître aussi sa distance AM au pied de la perpendiculaire OA ; je désigne cette distance par q. Prenons trois axes rectangulaires, OX coïncidant avec l'axe de rotation, OZ dirigé en sens contraire de la pesanteur, OY perpendiculaire au plan ZOX, et supposons qu'à l'origine du temps OA soit dirigé suivant OZ et que la portion du tube dans lequel 9 est positif soit du même côté que OY par rapport à ZOX; à l'époque t, OA ainsi que la projection du tube sur YOZ ont tourné d'un angle «f, et, en projetant le contour OAM sur les trois axes, on obtient les coordonnées rectangulaires de M en fonction de q :

jr =2 — a siTKùt -h g sin^ cosu^ zzz^ a cosw/ H- q siny sinuf.

NOTE IV. l^iy)

On calcule sans peine od ^y\ z\ et l'on trouve, en supposant la masse de M égale à Tunité, la demi-force vive

ï = -(^'* — aaw^'siny -f- ^'w'sin'y -t- a'w*).

La pesanteur est la seule force qui agisse en dehors des liaisons, et son travail virtuel

^U = — g^z -=. — g sinf sin6i/<f7.

Nous avons tons les éléments nécessaires pour former Téquation unique dont nous avons besoin :

rf^dT dU

dt àq* dq Ôq

Cette équation peut s'écrire

(I) "Ta ~" "'îsin'^-4-^5inp8inw^ = o.

Le moyen le plus commode pour intégrer cette équa-« tion est de chercher une intégrale particulière de la forme 9 = Xsinei)<; en substituant, on voit qu'une pareille expression satisfait à l'équation (I) en prenant

û)'(i -1- sin*y)

On pose alors

fi'sinosinu/

^ w* ( 1 -h sin* <p ) ^

on porte cette valeur dans l'équation (I), qui donne

— z &>*K sin*9 ==: o.

L'intégrale générale de cette équation linéaire sans second membre est bien connue; en l'ajoutant à l'intégrale particulière qu'on a trouvée d'abord, on obtient

SgG HOTE IV.

rintégrale générale de (I) :

La vitesse de glissement de M le long du tube est

r/f ^L w*^i-4-sin*yjJ

On déterminera C et B à Taide des valeurs initiales

de q et de -~-^ caries équations précédentes deviennent, pour f = o,

9o= C + B, 9, = (C — Bjwsiny -h . S^^y

^ ' * « ( 1 -h Slll* 7 )

En général, C n'est pas nul; les termes qui le contiennent finissent par être bien supérieurs aux autres dans Texpression de q et de ^^ et le mobile finit par s'éloigner indéfiniment du point A ; si C est nul, le mou- \ement tend à devenir oscillatoire. Il est remarquable, dans tous les cas, que ce mouvement ne dépende point de la grandeur de a.

Pendule double.

Je désignerai ainsi le système de deux points pesants A et B attachés en deux points d'un fil flexible, inextensible et sans masse dont une extrémité est fixée en un point O. Je suppose que, les deux portions OA, AB du fil restant toujours tendues, les points A et B aient été écartés de leurs positions d'équilibre et animés de vitesses initiales données, mais de telle sorte qu'ils ne sortent pas du plan vertical qui contient d'abord OA et AB : il s'agît de chercher le mouvement du système.

On connaît les longueurs a et 4 des droites OA et AB; il suffira d'avoir les angles q et ^^ de ces deux lignes

KOTE IV. 3g^

avec la verticale pour déterminer la position des points A et B. Les inconnues de Lagrange se réduisent à deux, f et 4^. En prenant pour axe des x Thorizontale menée en O dans le plan où se meut le pendule, pour axe des y la verticale du point O, les coordonnées de A et B sont respectivement

x=asin7y j^znacosy,

X = a siQ ^ -h ô 8În i(», y z=z a cxistf -\- b cos-^.

Soient m tin les masses des deux points ; on trouve la demi-force vive

T = - ma* y" -h -/»[«*?"-*- ^'^''-h labff'-^* cos(>f> — y)],

elle travail de la pesanteur pour un déplacement virtuel du système

Le lecteur formera sans peine les deux équations de Lagrange qui font connaître le mouvement cherché, et qui sont, après quelques réductions,

— /i6sin(4» — y)^-+-('»"+-«)^siny = o, «co$(^-y)^-+-^' ^— ûsm(+-y)^ 4-g'sm-^ = o.

On a rintégrale des forces vives, mais on n'aperçoit pas d'autre intégrale rigoureuse; aussi nous. borneronsnous au cas où les angles cf et (p restent très-petits. Suivant un principe général, les dérivées de ces angles par rapport au temps doivent être des quantités très-petites du même ordre; si donc on néglige les petites quantités

3y8 HOTE* IV.

du troisième ordre dans les équations du mouvemcn% celles-ci se réduisent à la forme linéaire

1 (m -f. «)« -^ -f- nb —} -f- [m -H n )g^ = o,

La méthode la plus rapide pour intégrer ces équations simultanées consiste à chercher deux intégrales particulières de la forme

en substituant, on voit que les constantes X et r doivent donner

d'où Ton tire .

(a) [m 'hn){ai^~hg)[br^-h g) = abnr^y

af*

br^

L'équation (a) donne pour r^ deux valeurs négatives entre lesquelles sont comprises — -et — j'^ les quatre

racines de l'équation (a) sont donc de la forme ± r\^ — i ,

ûzi'^yj — i; à chacune d'elles correspond un couple d'intégrales particulières du système (i ) ; en ajoutant ces intégrales multipliées par des constantes, on obtiendra les deux intégrales générales

f = Ce'^'^/^-+- C'e-'^'v^4- De'^'v^-h D'tf-'^'i^, g — Or*^

On peut donner aux arbitraires des valeurs telles que

les imaginaires disparaissent et qu'il reste

o r= G cosr'^ 4- G' sïn/t -h H cosr^t -f- H' sin^"^

/ir'«

•3) jv^ = ^— -^;T7(Gcos/^/-|-G'sinr'/}

7,,(Hcos/^/-h'H'sin/^'/).

Supposons que pour t = o on ait (j = a, ^ = P, (^'= o, (^'= o ; en faisant ces hypothèses dans les intégrales précédentes et leurs dérivées premières prises par rapport au temps, on a des équations de condition d'où Ton tire

g — or ' g — »r * '

En général, le mouvement des deux portions du fil résulte de deux oscillations simultanées dont la période est différente ; pour que ces deux parties oscillent comme des pendules simples, il faudrait que G ou H fût nul, car les racines r'et r" ne peuvent devenir égales que si /z = o, et alors on n'a qu'un pendule simple. Admettons que H soit nul; on aura G = a, et

ar'*

g — f^r d'où

au -[- b^

Exprimons que cette valeur de r'^ satisfait à l'équation (2); il en résulte

[ni-\- n)au--\-{m -^ n)[b — «)«P — mb^-rzzo.

Cette équation montre qu'on peut réaliser le cas pariiculierconsidéré en donnante l'écart initial (3 une valeur de même signe que a, mais phis grande en valeur abso-

./JOO WOTB IV.

lue, ou bîen de signe contraire et > -y- en valeur absolue. DansTunouTautre cas les Intégrales (3) deviennent, en tenant compte des valeurs des paramètres qui y entrent,