PC0S

f = a cosf

OÂ et A6 exécutent des oscillations concordantes, mais d'amplitudes dilTérentes^ la longueur du pendule synchrone est comprise entre & et 6 + â, si a et /3 sont de même signe; elle est <^ 6 si a et |3 sont de signes contraires.

Si 1^^ était double de 7^, condition facile à exprimer, OA et AB auraient un mouvement plus compliqué que celui de la tige d'un pendule simple, mais ce mouve-

ment serait encore périodique* et la période serait -j *

Equations canoniques.

Nous supposerons expressément, dans les questions dont nous allons nous occuper, qu'on puisse écrire l'intégrale des forces vives, ce qui exige, nous l'avons vu, que les équations de liaison entre les coordonnées des points mobiles ne renferment pas le temps explicitement et que le travail virtuel S(X^jP4-YJy-|-ZJz) soit la variation exacte d'une fonction U appelée fonction des forces; dans ces questions, qui comprennent les principaux problèmes de la Mécanique rationnelle, on peut déduire des équations de Lagrange un système d'équations remarquables, que Poisson a nommées canoniques, mais qui ont été pour la première fois étudiées par Hamilton.

Admettons qu'on ail exprimé la demi-force vive T au

KOTB IV. 4oi

moyen des n variables indépendantes 70 72, . . .9 ^n et de leurs dérivées, et posons

^T dT dT

Si de ces équations on tire les valeurs de^',, q.^y ..., q^ pour les substituer dans l'expression de T, la demi-force vive deviendra fonction de ^i, q2, ..., qn et de p^^ p%i ""t pn* Nous allons chercher comment se transforment les équations de Lagrange quand au lieu des variables q'^ on introduit pi^p^^ • . • ? Pn»

Nous conserverons la caractéristique d pour désigner les dérivées partielles quand les variables indépendantes seront les qi et les q\y et nous reviendrons à la caracté- , ristique d dans le casoù on prendra pour variables indépendantes les qi et les/?/. Il s'agit de trouver les relations qui existent entre les deux systèmes de dérivées partielles de la demi-force vive. La différentielle totale de cette fonction peut s'exprimer de deux manières, selon le système de variables indépendantes qu'on envisage :

D'autre part, nous avons vu que, dans les cas que nous considérons, T est une fonction homogène du second degré des q\^ et qu'on a par conséquent

,dT

prenant les différentielles totales,

2rfr=N /y/rfyi-i- > qidpi.

Stcbm. ^Méc. II. a6

'i02 MOTE IV.

Si Ton ajoute les équations (i) et (a), et qu'on en retranche la précédente, il reste

Les 271 difTérenti elles dqi et dpi sont arbitraires; le coefficient de chacune déciles doit être nul, et Ton a, pour toutes les valeurs de i,

^^' ^^ di dpi

La fonction U, ne contenant pas les q\- et par suite les Pi, est indifférente au changement de variable que nous faisons, et Ton a

f)U r/XJ rm ^ ' Oqi dqi dpi

En vertu de la première de ces relations, de Téqualion (3) et de la définition des pij on a identiquement

dt dq'i dqi ôqi dt dqi dqi

Nous voyons ainsi comment se transforment les équations de Lagrange; mais introduisons, avec Hamilton,

la fonction

et remarquons que l'équation (4) donne, eu égard à la seconde relation (5),

dqt ^dl dU ^ £H^ lî^'dp,^ dpi"^ dpi^

HIOTE IV. 4o3

les n équations renfermées dans la précédente et les transformées des équations de Lagrange constituent le système des in équations canoniques

dpy^ rfH dt dqC

dpi __■ dR dt ^ dqn^

dp,^ dH

dt ~~ dpi^

dq^ dR dt dp^ '

dqn d\l dt dp^

H est une fonction connue que Ton devra commencer par calculer. Soit

(7) H — ^{^(^1, ^„ . . .,^„, />,, Pi, . . .,/?„).

Les 2 72 équations simultanées admettent 2/1 intégrales renfermant autant d'arbitraires qui entreront avec le temps e dans la valeur des inconnues du problème, ^i,

Le système canonique n'a pas encore pu être intégré d^une manière générale, mais il a fourni aux géomètres l'occasion de recherches très-importantes qui ne peuvent trouver place ici; toutefois, j'exposerai, en me restreignant au cas qui nous intéresse directement, un théorème de Jacobi qui constitue, je crois, l'indication la plus utile pour intégrer les équations canoniques.

Equation aux déri\fées partielles de Jacobi.

Soit X la constante des forces vives, en sorte qu'on ait

prenons la fonction (7) qui donne la valeur de H, remplaçons-y les Pi par ^9 et égalons l'expression ainsi

4o4 KOTE IV.

formée à — X •, nous aurons

/ON J lis dS rfSV , ^

c'est une équation aux dérivées partielles qui peut déterminer une inconnue S en fonction de ^i , ^t, . . . , ^a. Cela posé, voici en quoi consiste le théorème de Jacobi :

Si Von a trouvée une valeur de S satisfaisant à l^équa' Uon [S) et renjermant n — i arbitraires autres que :elle qu'on peut introduire par simple addition, soit

on pourra écrire immédiatement les intégrales du système canonique (6) sous la forme

(9) — = Pi' •••» :zr^ = ^«-»' 10: = ^^'^

Po (32, . • . , j3;,4 , e e/anf n nou^f elles arbitraires.

L'ensemble des équations (9) et (10) renferme bien les an constantes que doivent contenir les intégrales générales du système canonique ; il reste à vérifier que les intégrales proposées conduisent aux équations (6). DifTérentions les équations (9) par rapport au temps; aous aurons n relations

j^ rfa, dqi dt

^d<t^-idqi dt *

2ud^dqi dt ''

intervertissant l'ordre des dérivations,

iqid(Xx lit ""

(il) {V ^S| dq;

dq,d«^^l tlt

^^ dq^d). dt

D'autre part, si Ton substitue dans l'équation (8) la valeur de Si, on obtient une identité; la dérivée prise par rapport à une des constantes ai, . . ., olh^^j X sera nulle, ce qui nous donnera n identités.

Mais, si l'ona égard aux équations (lo), la fonction ^ redeviendra celle qui enlre dans l'équation (7); ses dérivées partielles par rapport à ^ deviendront y^> c'està-dire -7-; les 71 relations précédentes seront

dpi ^

dqida,^^i dp^ //*S, dU

dq^dX flpi

Ce système de n équations ne diffère du système (11) que par le cbangement des -y- en —- ; on peut regarder ces deux groupes de quantités comme satisfaisant à un même système d'équations linéaires; elles

4o6 WOTE IV.

doivent être égales deux à deux: c'est dire que le second groupe des équations (6) est vérifié.

Pour obtenir les valeurs de -— et des dérivées ana-

logues, telles que Timpose le premier groupe des équations (6), je différentie la première équation (lo) :

Nous avons déjà vérifié que

dqi __ cm ^ lit dpi'^

dt "^ Zuàpi dq^dqy^

Mais, si Ton différentie par rapport à q^ Tidentité obtenue en remplaçant S par S« dans Téquation (8), il

vient

d^f ^ rf^ rf*S,

dqx ^ J^^i\ %^îi

en remplaçant encore dans la fonction ^ les —-^ par

leurs valeurs (lo), cette fonction devient H et Tégalilé précédente donne ,

dqi~ Zjdpi dqidqi^

par conséquent, la valeur de -^ est bien égale à — » et

Ton trouverait n égalités analogues.

L'intégration du système canonique est ramenée à la recherche d'une intégrale complète d'une équation aus dérivées partielles du premier ordre, mais non linéaire ;

KOTÉ IV. 407

on n'a pas de mélhode générale pour trouver une telle intégrale, mais on y parvient quelquefois en scindant l'équation (8), comme on le voit dans les deux exemples qui suivent.

Application au mouvement d'un point pesant.

Nous appliquerons d'abord les théories précédentes à une question excessivement simple , mais qui nous permettra de former sans peine toutes les équations que nous avons rencontrées et d'y lire des résultats connus. Il s'agit de déterminer le mouvement d'une petite masse m, soumise uniquement à Faction de la pesanteur. En admettant comme démontré que le point m ne sortira pas du plan vertical qui passe par sa vitesse initiale, la position de ce point sera déterminée par ses distances à deux axes, l'un horizontal, l'autre vertical. Si l'on appelle ^4, ft ces distances, on a la demi-force vive

Introduisons les dérivées partielles p^ , p2 : on aura

Pi = mtj\, Pi = mq\, T =—(/??+/?*).

On a une fonction des forces^ U = mg^^/ 1 , et l'on peut écrire la fonction d'Hamilton

Les équations canoniques sont

dt '"® ' dt ' at /M ' €U ///

Il est bien facile de trouver et d'interpréter les inlé-

4o8 »OTE IV.

grales de ce système; mais voyons celles que fournit la méthode de Jacobi. L'équation en S est

Cherchons une intégrale renfermant une arbitraire et de la forme

Si=/(^i)-i-?(7i); .

il suffit d'avoir, en désignant par a une constante,

De simples quadratures font connaître /"(^i ) et 7(^1)» et l'on trouve

Les intégrales du mouvement, représentées en général par les équations (9) et (10), seront ici

^2 M [a — ntgaj q%Jin

La première fait connaître la trajectoire, la deuxième la loi du mouvement, et les deux autres donnent les composantes de la vitesse; les constantes a, |3, e et X se déduisent des circonstances initiales. On peut vérifier que la valeur (7 bis) de H se réduit à — X, ce qui permet d'avoir directement la valeur de cette constante.

WOTE IV. 409

Mouvement d' un point attiré vers deux centres fixes.

Soit à déterminer le mouvement d'un point M attiré vers deux centres fixes F, Y\ avec des intensités qui varient en raison inverse de la distance ; on suppose la vitesse initiale dirigée dans le plan qui passe par FF| et par la position initiale A du point M.

Le mobile ne sortira pas du plan AFFi, et sa position serait déterminée à chaque instant par deux coordonnées rectangulaires x, y^ Taxe des x étant dirigé suivant FFi et Taxe des j^ étant la perpendiculaire au milieu de FF, .

Mais on pourra bien plus facilement trouver les intégrales du problème en définissant la position du point M par les longueurs q Qi q\ des demi-axes focaux de Tellipse et de Thyperbole qui ont pour foyers F et F| et qui passent en M; ces deux coniques, on le sait, se coupent orthogonalement, et, si Ton pose FFi= ac, on a entre les coordonnées Xy y d'une part et ^, q^ de l'autre les relations

d*où l'on déduit

En prenant la masse de M égale à l'unité, on a, pour la demi-force vive et ses dérivées,

1 tf^ — c' 2 C* — 9i

d1 da'

7* — îî., àT ^*-çl

4lO HOTE lY.

on tire des deux dernières équations <f et q\ y et on les substitue dans la valeur de T, qui devient

Soient yi, fXi les attractions de F et de F4 à Tunité de distance, r, r^ les long^ueurs MF, MF| ; le travail correspondant à un déplacement virtuel du point M sera

âV

=(.^'-..îi^)''-(^-f>^

le second membre est une différentielle exacte, et, en intégrant, on aura la fonction des forces

^ '•1 Les propriétés fondamentales des rayons vecteurs donnent

r-t- ri= 9.q, r— rjizzzpa^i, d'où

On a supposé que F était sur la partie positive de Taxe des X, F| sur la partie négative ; dans ce cas, si Vx du point M est positif, on prendra les signes supérieurs, et, s'il est négatif, les signes inférieurs ; mais on peut toujours conserver les signes supérieurs en convenant que, quand Tabscisse sera négative, on prendra aussi pour q^ une valeur négative, de sorte que cette coordonnée pourra varier entre — c et -i- c. Cela posé, nous avons les deux parties de la fonction d'Hamilton

KOTE IV. 4, ,

Nous n'avons pas besoin d'écrire les quatre équations canoniques, mais nous chercherons leurs intégrales à l'aide du théorème de Jacobi; l'équation aux dérivées partielles qu'il faut considérer est

-hq^ ^ q^ — ql \dq)

q — qi q-h

2 q^'-ql \dqj

OU, en chassant les dénominateurs,

Nous allons encore chercher une intégrale renfermant uns constante et de la forme S| = fiq)-^ ^(yO > ^^ suffit d'avoir

Les fonctions /et y sont données par de simples quadratures au moyen d'intégrales elliptiques, et l'intégrale complète Si peut s'écrire

yV'^.g -^lyj. — ii.^]q^ — l\q\ ^

Mc'-q\

L'époque à laquelle le mobile arrive à une position déterminée est donnée par la formule

dk L'équation delà trajectoire, -j-^ = jS, se formera en pre-

4 12 KOTE IV.

nant par rapport à a la dérivée des quantités placées sous les signes y* dans la valeur de Si; mais, pour étudier la trajectoire, il vaut mieux prendre les différentielles des deux membres de Téquation obtenue, ce qui donne, en mettant en évidence les doubles signes des radicaux,

±riq

Les constantes X et a se déduisent des circonstances initiales. Je désigne par des lettres surmontées d^un trait les valeurs initiales des quantités que ces lettres représentent en général. L'intégrale des forces vives, H= — X, qui est vérifiée dans tous ces problèmes, va nous donner X:

(III) X=:-H = -;*-ê~^^

Pour calculer a, considérons la position M' du mobile, infiniment voisine de M et définie par les coordonnées q-^dq^ q\-^dq^; entre les deux ellipses et les deux hyperboles qui se coupent en M et en M' est compris un rectangle infiniment petit dont les côtés sont donnés par Texpression générale (I) de ds^ dans laquelle on ferait tour à tour dq^ = o ou cf^ = o ; ces côtés sont

leur rapport est égal à la tangente de Tangle a> que la vitesse en M fait avec Teltipse de demi-axe q qui y passe

/c* — 7? dq

NOTE IV. 4ï3

Maïs on peut tirer de l'équation (II) le rapport de dq àdçtf et il vient

tang

Il suffit d'appliquer cette formule à l'instant initial pour

déterminer a en fonction de y, 91, co et X, qui est déjà connu.

Revenons à l'équation (II). On ne doit donner à q et Çi que des valeurs telles que les quantités soumises aux deux radicaux aient le même signe, et je dis que ce signe est nécessairement le signe -f-. En effet, d'après la nature de l'ellipse et de l'hyperbole, q^ — c^ et c^ — q^ sont ^ o ; les deux autres facteurs sous les radicaux ont pour somme

cette somme est positive : donc si les deux facteurs ont le même signe, ils seront positifs. La trajectoire peut affecter un graiid nombre de formes suivant les valeurs de q et qt qui annulent les radicaux; elle n'a des branches infinies que si X est positif, ce qui permet de prendre q infini.

Cherchons quelles doivent être les circonstances initiales pour que la trajectoire se réduise à une conique ayant pour foyers F, F| et, pour fixer les idées, à une ellipse ; il faut que le trinôme ^q^-hiy^-h lii)q — « soit

négatif pour toute valeur de q différente de 9, ce qui exige, en se reportant à la théorie élémentaire des trinômes du second degré,

X<0, f*-hfAi= — 2><7, — a=:>g;

^l4 NOTE IV.

la troisième condition fait connattre a ; la deuxième, qui

entraîne la première, donne, après avoir divisé par y> remplacé X par sa valeur (III) et transposé quelques termes,

Cette valeur de v est égale à la somme des carrés des vitesses initiales qu'il faut donner au point M pour qu*il décrive l'ellipse proposée en vertu de l'attraction du fojer F seul, ou du foyer F| ; ces vitesses initiales satisfont respectivement aux deux conditions

Nous avons un cas particulier d'un théorème dû à Legendre : On se donne la position initiale d 'un mobile et la direction de sa vitesse en ce point, et l'on suppose que le mobile décrive une courbe déterminée : i® s'il est soumis à une force F et possède une vitesse initiale a ; 2*^ s'il est soumis à une force P et possède une vitesse initiale d ; 3® s'il est soumis à.une j or ce F^ et possède une vitesse initiale aP ^ etc. ; le mobile, étant soumis à la Jois aux forces F, F', F", . . , , suivra la trajectoire proposée si le carré de sa vitesse initiale est a* 4- a!^ 4- a?^ -f- .... Ce théorème se démontre sans peine en cherchant quelle serait la réaction exercée par la courbe proposée sur le mobile en le supposant obligé de se mouvoir le long de cette courbe sous les actions simultanées de .F, F', ... ; on reconnaît que cette réaction est nulle.