Mouvement des gentbbs de gravité. — Soient OC = jr

«. OC = x*: R la valeur des deux

Fig. 171. • x r M. ^ '

pressions égales et contraires appliquées aux centres des deux sphères et qui résultent des actions mutuelles de leurs molécules, m et m' les masses des deux sphères. On aura

ff.r , fffx' , t ,

/w -7- -i- m' — T- =nw-{- in9\ lit (It

Celte équation exprime que la somme des quantités de mouvement reste constante pendant toute la durée du choc.

631. Choc de deux corps dépourvus d'élasticité. — Désignons par u la vitesse commune avec laquelle ces deux corps réunià en un seul se mouvront après le choc. On aura

Si avant le choc les deux corps allaient dans le même sens, après le choc le sens du mouvement commun sera le même. S'ils allaient en sens contraire, la vitesse commune après le choc sera celle de la sphère qui avait la plus grande quantité de mouvement. En particulier, si les deux corps, allant à la rencontre Tun de l'autre, avaient des quantités de mouvement égales, le choc les réduirait au repos.

632. Équation des forces vives. — On a, pendant toute la durée du choc,

Cette équation exprime que la somme des forces vives à une époque quelconque est égale à cette somme prise au commencement du choc, plus le double de l'intégrale de R^r, prise à partir de la même époque.

633, 634. Cuoc de deux corps parfaitement élastiques. — On a

m (^-^ -f- m' ( ^ ) = /WP^4- m'v'*.

4^4 TÀBLB ÀHALTTIQ1TB

Vitesses des deux centres de gravité après le choc :

-. {m — m')tf-^^m'tf'

-., a mv + ( /w' — m)p* "~ /// -h m'

635. Soit u la vitesse commune aux deux centres de gravité, au moment où la compression est la plus grande. On a

La vitesse de chaque corps au milieu du choc est la moyenne arithmétique entre sa vitesse avant le choc et sa vitesse après le choc.

La vitesse relative avec laquelle le centre de gravité C s'éloigne de G' après le choc est égale à celle avec laquelle il s'en approchait à l'instant où le choc a eu lieu.

636. Examen de quelques cas particuliers. — Si le corps C est en repos au mometit où C vient le rencontrer, la vitesse après

le choc est

mv u = >•

637 Si les corps sont parfaitement élastiques, Y- {m — m')v %mp

Si m' est infiniment grande par rapport à m, le corps choqué de> meure en repos, tandis que l'autre est réfléchi en sens contraire avec une vitesse égale à celle avec laquelle il est venu rencontrer lu premier.

638. Quand les deux masses m et m* sont égales, si les deux corps sont mous,

Si les deux corps sont parfaitement élastiques, ils ne feront qu'échanger leur vitesse.

Si l'un des corps était en repos, l'autre restera immobile après le choc et lui transmettra sa vitesse.

639. Théorème de Carnot. — La somme des forces vives ne change pas par l'effet du choc quand les corps sont parfoitement élastiques. Mais lorsqu'ils sont mous, elle diminue et la différence

est égale à la somme des forces vives dues aux vitesses acquises ou perdues par les deux corps :

On peut encore mettre cette perte de force vive sous la forme mm' /M,

640. Mouvement du centre de gravité commun. — La vitesse du centre de gravité commun reste constante avant, pendant et après le choc.

641. Principe de la moindre action. — Dans le mouvement d'un système de corps pour lequel le principe des forces vives a lieu, si Ton multiplie la vitesse de chaque point du système par sa masse et par l'élément de sa trajectoire, et qu'on intègre la somme de ces produits depuis une position donnée du système jusqu'à une

autre position aussi donnée, la valeur de cette intégrale / ^^muds

est généralement un minimum.

Quand les points mobiles ne sont soumis à aucune force, on a

mv^dt = c [i — tj, Le temps du trajet est un minimum.

PROPRIÉTÉS DU MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE; APPLICATIONS.

642. La position d'un corps solide est déterminée par celle de trois droites Oi^i, OiVi, OiZi qui lui sont liées invariablement.

643. Tout mouvement infiniment petit d'un solide dont les divers points décrivent des trajectoires situées dans des plans parallèles peut être regardé comme une rotation autour d'un axe instantané perpendiculaire aux plans précédents.

614. Le mouvement continu du même solide lui serait donné si on le liait à un cylindre roulant sans glisser sur un cylindre fixe.

645. Les vitesses des points d'une figure plane qui se meut dans son plan sont, à un instant donné, perpendiculaires aux droites qui

iS6 TABLE ANALYTIQUE

joignent les points au centre instantané et proportioûnelles à ces droites.

646-647. Les vitesses angulaires de deux manivelles réunies par une bielle sont inversement proportionnelles aux distances des centres de rotation à la bielle.

648. Quand on suppose que le point Oi du solide coïncide tonjours avec Torigine des axes fixes, les coordonnées d'un même point par rapport aux deux systèmes d'axes sont liées par les relations

or = flxi -+- /i^'i -h czj,

z = a' Xi H- b'jTx -H d'il.

Si Ton pose

elh ,db' .fib" de .fia

les projections de la vitesse d'un point sur les axes mobiles sont

649-650, Le mouvement élémentaire du solide est une rotation dont Taxe passe par le point fixe ; le mouvement continu s'obtient en liant le solide à un cône qui roule sur un cône fixe.

651. Quand Jes axes mobiles coïncident avec les axes fixes, on a

ffy^ d^ dc dff ^'__^

P" dt'^ dt^ "^^ dt"^ dt^ ^"^ dt" dC

652. Si 0.ri,^i, zi sont des axes principaux d'inertie, la force

vive du solide est

A/?«-f-B7»-+-Cr«.

653-654. Les sommes des moments des quantités de mouvement par rapport aux axes mobiles sont A/?, B^, Cr et par rapport aux axes fixes