XV

y-)dc.

Maintenant x étant l'abscisse du centre de gravité du volume engendré par MM'NN', le moment de ce volume, par rapport à un plan perpendiculaire à O^c, mené par le point O, sera irx{jr* — jr'*)dx. Donc ai x, est l'abscisse du centre de gravïlé que l'on clierche, on aura

égalité qui fera connaître x,.

CORFS nOHT LE CENTRB DE CR&VITâ s'oBTIBKT FAB ClfE SEULE INTËCHATIOK.

101. On peut obtenir par une seule inlégration le ccnire de gravité d'un corps lorstju'il est décomposable co éléments infiniment petits, ayant leurs centres de gravité en ligne droite.

Considérons, par exemple, un segment d'ellipsoïde compris entre deux plans parallèles AI, et BM.

Alcnons parle centre O du l'ellipsoïde an plan zOy,

8SPT1ÈMB LEÇOXr. 67

parallèle i ces deux plans \ soient Oy, Oz deux diamètres conjugués de la section ainsi obtenue, et Ox le diamètre conjugué i ce plan diamétral. Le diamètre Ox* passera par les centres de gravité de toutes les sections parallèles à sOj, puisque ces centres de gravité sont les centies de toutes ces ellipses.

Or 2a, ai, ac étant les longueurs des trois diamètres conjugués, Téquation de Tellipsoïde sera

On peut concevoir le segment AL6M comme formé d*une infinité de tranches infîiiiment petites, limitées par des plans parallèles à zOy. Soit PRP'R^ une de ces tranches, telle que OP = x, OP' = x -h dx. Le volume de cette tranche différera infiniment peu de celui d'un cylindre qui, ayant T ellipse PR pour base, aurait pour hauteur la distance entre PR et PR'. Or Téquation de l'ellipse PR est

ï^ ■*" "7 ~" ' ~ ô» * et par suite son aire est

ffbci I ^ jsinO,

0 étant Fangle tOj, D'un autre côté, ). désignant Tangle que le diamètre Ox fait avec le plan diamétral zOy^ c/xsinX est l'épaisseur de la tranche^ le volume de cette tranche sera donc

ir ^c sin 9 sin X ( i -\ dx.

Par suite, x = a, x=|3 étant les équations des plans AL, BM, le volume V du segment sera

nbc %m^s\f\\ C^

V= ^, j («>-x»)itr,

68 COUnS DE MëCAKIQtJE.

ce qui donne, en intégrant,

îT^f sinOsînX .^ wo . . ^ «.v

Maintenant le centre de gravité G du segment ALBIVI est sur le diamètre Ox, et coniuie Tabscisse du centre de gravité de la tranche infiniment petite diffère infiniment

peu de X,

6<!sîn0sîn\, , . ,

^ (^a — x*)xdx

sera le moment de cette tranche par rapport au plan zOy et à la direction Ox. D'un autre côté, si 0G= Jt^, VXi sera le moment du segment. On aura donc

7rAcsîn0sin> ,, .» / . . «..

d*où, en divisant par V,

^^^ •"" 4(3û»-a'-ap-p') '

On doit remarquer que Xx ne dépend ni des diamètres 'ib et 2C^ ni des angles 6 et X, en sorte que cette formule donne immédiatement Tabscisse du centre de gravité d'un segment sphérique dont le rayon est a et dont a et |3 sont les distances des bases au centre de la sphère.

CENTHE de GRiVITÉ d'cHT corps QUELGOIUQUE*

102. Siippoions le corps rapporté à trois axes rectangulaires Ox, Oy^ Oz. Si l'on mène une infinité de plans parallèles au plan xOy^ on partagera le solide eu une

SEPTIÈME LEçoir. 6g

infinité de tranches dont les bases seront parallèles à ce plan; en menant des plans parallèles au plan zOx^ on ''*ff* 48. décomposera chaque fran-

che en une infinité de petits ' filets prismatiques ayant toutes leurs arêtes perpen-

-^ diculaires au plan zOy^ et

enfin au moyen de plans pa- ^ rallèles au plan zOy^ cha-

cun de ces filets se trouvera partagé en une infinité de parallélîpipèdes infiniment petits dans toutes leurs dimensions.

Soient M(t,^, z) et W (x -h dxj jr -h dj^ z -{- dz) deux sommets opposés d'un de ces parallélipipèJes infiniment petits. Son volume sera dvdjclz^ et par conséquent, si V est le volume du solide tout entier, on aura

(1) yz=:Ç Ç Idxdjdz.

Si le corps est homogène, cette intégrale triple pourra être considérée comme représentant le poids du coi*ps. Si le corps n^est pas homogène, le poids de Télcment MM' sera représenté par pdxdjdz et le poids du solide entier P par la formule

(2) P=ffJpfUdjdz,

P désignant la densité du corps au point (x,y, z). On suppose que p est une fonction continue des coordonnées, fonction qui peut être considérée comme ayant sensible^ ment la même valeur dans toute Tétcndue d'un élément infiniment petit.

Toici maintenant comment on devra effectuer l'înté- 1^ ration indiquée. L'équation de la surface du corps ttonne, en général, pour un système de valeurs de x et de jr^ deux valeurs de z : soienty(jr, j') la plus petite, et F (x, j^) la plus grande de ces valeurs. On commencera

yO GOORS DE MÉCANIQUE.

par chercher rinlégrale

en regardant xctjr comme des constantes.

Imaginons maintenant que, de Téquation de la trace sur le plan des xy d'un cylindre parallèle à Oz et circonscrit à la surface du corps, on tire

la première étant la plus petite et la seconde la plus grande des valeurs de y qui correspondent à une valeur attribuée â x. En regardant x comme une constante, on cherchera l'intégrale déGnie

EnUn

étant les équations de deux plans parallèles au plan zOj^ l'un mené par le point le plus rapproché, l'autre par le point le plus éloigné de ce plan sur la surface du solide, on aura

(3) Pz= j dx j dy \ pdz.

103. Pour trouver maintenant le centre de gravité (jTi, jt, Zi)du solide, observons que xpdW^ypdY, zpdW seront les moments du parallclipipède MM' par rapport aux plans coordonnés, en regardant x, j'y z comme les coordonnées du centre de gravité de ce parallélipipède. On aura donc, d'après le théorème des moments,

(4) j Pj. = ffjjfdv.

SEPTIÈME LEÇOlt. ni

Si le corps étail homogène, le fadeur constant p pourrai i

P sortir du signe d'intégration et, en remplaçant - par Y,

on aurait

Va.

Les limites de ces intégrales sont les mêmes que pour l'intégrale qui représente le volume

^a COURS DE MÉCAiriQITB.

VOLUME ET CENTRE DE GRAVITÉ DES CORPS RAPPORTÉS A DES COORDONNÉES POLAIRES.-

Coordonnées polaires. — Poids et volume d^un corps rapporté à des coordonnées polaires. — Coordonnées polaires du centre de gravité. — Limites des intégrales qui entrent dans les formules précédentes. — Application.

COORDONKÉES POLAIKES.

104. Soient z = MP, jr = PQ, x = OQ les coordonnées rectangulaires d'un point M. Ce point peut être dë-

p. / terminé par sa distance OM = r

à un point fixe O, par Tanglt!

MO j: = B que fait le rayon vecteur OM avec Taxe fixe Ojr, enfin par Tangle MQP = f^ que le plan MOx fait avec le plan fixe xOjr, Les quantités r, 9, ^ sont dites les coordonnées polaires du point M.

On voit que les coordonnées polaires déterminent le point M par Tintersection de trois surfaces, savoir une sphère décrite du point O comme centre avec r pour rayon : un cône de révolution dont Ox est Taxe et dont la génératrice fait avec Taxe un angle 0] enfin un plan passant par O j: et faisant un angle ^ avec le plan xOy.

105. Les formules propres à passer des coordonnées rectangulaires x^y, z aux coordonnées polaires r, 0, ^ se tirent immédiatement de la considération des triangles MOQ et MPQ, qui donnent

ar^rcosO, ( l) l^ y--r sin 9 cos^ ,

z = rsinOsin>|;«

i06. Inversement, pour passer du second système au premier, on aura les formules

tangip =

cos 0 =

zV^j:»-+-7^-f-«S

yi»'

ipyr^L^a