POIDS ET VOLUME DES COUPS RAPPORTÉS A DES COORDONNÉES POLAIRES

107. Sgît M (r, d, ^) un point pris dans le corps considéré. Décrivons dans le pian MOx et du point O

comme centre deux arcs de cercle MI et LK, avec les rayons OM = r et OL = r 4- Ar, terminés à la droite OK telle que LOK = AO.

Si Ton imagine que le quadrilatère plan IMLK tourne autour de Ox d'un angle Afp et vienne en l'M'L'K', nous obtiendrons un petit solide MK^que nous prendrons pour 1 élément du volume total. D'après le théorème de Guldin (90), MK' aura pour mesure Taiie IMLK multipliée par Tare de cercle que décrit le centre de gravité G de cette aire. Or

IMLK = OKL — OMI ^ i (r -f- Ar)>AO — i r^àO,

ou bien

IMLK

ArÂO.

D*un autre côté, si u est la perpendiculaire GH abaissée du point G sur Taxe Ox, Tare décrit par le point G sera égal i uùkf^. Mais le point G étant compris dans Tinté-

74 COTTES DE MÊCÂ19IQUB.

rieur du quadrilatère IKLM, peut devenir aussi voisio que Ton voudra du point M en prenant A 9 et A^ asse? petits. Par conséquent, GH différera peu de la perpendiculaire MQ = r sin d abaissée du point M sur Taxe Ox : on aura donc

(i) « = rsinO-ha,

CL désignant une quantité qui tend vers o en même temps que Ar et Ad; et par suite

(2) AV= (rsin0-ha)[r-hlArJArAOA4i.

Mais si Ton appelle p la densité du solide au point M, p -f- S sera la densité moyenne de l'élément de volume AV, 6 devenant nul à la limite. En appelant AP le poids de cet élément, on aura donc

AP=(p4.6)AV

(3) AP = (p -h 6) [r sinO -4- a) ( r H- i Arj ArAOA^i.

De là on conclut, en désignant par y un inGniment petit,

Pz=i îpr'sinôArAOA^ 4- 27ArA0A+.

Or, si Ton suppose les accroissements Ar, AO, A^» de plus en plus petits, on a

limZyArAOA;!' = o,

lim2pr»sin9ArA0A>I^ == I / j pr^sinQdrdBd'^. Donc

(4) r=z j j Ur^sïnQdrdBd^,

relation que Ton aurait pu obtenir plus rapidement par la niétbode des infiniment pelits.

Quand le corps est homogène, p est une constante qu'on peut faire sortir du signe d^intégration, et si Ton observe

HUITIÈME LEÇOH. ^5

que - est ëgal au volume V du corps, on aura P

(5) V= Ç Ç ÇrUïnBdrclQd^.

COORDOIiliéES POLAIRES DU CENTRE DE GRÀyiTÉ d'uN CORPS.

108. En "posamt' dV = pr* sin Odr (19 d^^ un raisonnement analogue à celui que nous venons de faire nous donnera, pour les moments du solide par rapport aux trois plans coordonnés, les intégrales

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et comme ces moments sont aussi égaux à Px}, P/i, Pir,, on aura finalement, pour déterminer les coordonnées rectangulaires du centre de gravité solide, les formules suivantes :

(4) P~ Ç j Çpr'ilnBdrdBd^,

Pjt, — / 1 j pr^sïnOcosOdrdOd'^y

Pl^ =: I I Ipr' sin'Osin>p drd^dlf.

On obtiendrait ensuite les coordonnées polaires pi, 9i, ^i, du centre de gravité à Taide des formules du n^ 106.