LIMITES DES INTÉGRALES PRÉCÉDENTES

109. Quant aux limites de ces intégrales, il faut distinguer deux cas, suivant que Torigine des coordonnées est dans le corps ou hors du corps.

Dans le premier cas, i^ on intégrera d'abord par rapport â r en regardant 0, ^^ dQ^ d^ comme des constantes,

^6' COUnS DE MÉCANIQUE.

depuis r=o jusqu'à r=y(0, ^), T équation polaire de la surface du corps résolue par rapport à r étant

On aura ainsi le poids et le centre de gravité d'une pyramide infiniment petite ayant son sommet au point O, et dont les quatre arêtes seraient les droites OL, OK, OL^ OK^ qui correspondent aux angles 9 et (|/.

'2^ On intégrera ensuite par rapport à 9, en regardant é et e/(p comme des constantes, depuis 9 = o jusqu'à d = ir, ccqui donnera le poids et le centre de gravité d'une tranche infiniment mince comprise entre deux plans infiniment voisins passant par Ox et correspondant à un angle (p.

3*^ Enfin, on aura le résultat définitif en intégrant les quatre expressions trouvées par rapport à fp entre les limites (j/ = o et ^ = 27r. D'après cela, la formule qui donne P pourra s'écrire

f d^ j sînOrfÔ I pr^cir.

i 10. Si le point O est extérieur, on intégrera d'abord, Fig. 5,. par rapport à r, entre les limites

en supposant que l'équation de la surface, résolue par rapport à r, donne pour celte variable les deux valeurs

r=OArr:/{0, 4»), rr= OB = F (0, 4»).

Soient maintenant 6' et 0'' les angles que les tangentes menées par le point O à la courbe d'intersection de la surface et du plan MOx font avec Ysme Ox. On intégrera par rapport à 6 depuis 0' jusqu'à 6". Enfin, on intégrera par rapport à ^ depuis ^r=a jusqu'à tp = |3, « et /3

étant les valeurs de ^ correspondant à deux plans menés par Ox, et tangents à la surface.

Si Taxe Ox passait par i'inicrieur du corps solide, il faudrait intégrer par rapport a^de^=-ok^= 27r.

EuGn, dans tous les cas, on pourrait changer l'ordre des intégrations*, mais les limites des intégrales ne seraient plus les mêmes.