ATTRACTION DES CORPS
Loi de rattraetion. — Attraction d'aune couche sphérîqiie. — AttractioD de deux sphères. — Formules générales. — Réduction des intégrales générales à une seule. -» Propriétés de la fonction V.
LOI DE l'atthactioit.
ii2. Tous les corps de la nature s^attirent mutuellement, et rintensiié de Tattraction pour deux corps est proportionnelle aux masses ou quantités de matière de ces corps et en raison iny^erse du cartx de leur distance.
Pour ëclaircir cet énoncé, supposons que deux corps de dimensions et de formes quelconques, ayant chacun une masse égale à Tunîté, s^atlirent mutuellement, et concevons que cette attraction ne varie ni en grandeur ni en direction dans toute retendue de ces deux corps, en sorte qu'elle soit la même entre deux points matériels /i et £ de ces deux corps que celle qui aurait lieu entre ces deux points s*ils étaient places à Tuniié de distance Tun de Tautre. Appelons^ Tattraction totale exercée par Tun de res deux corps sur l'autre. La loi énoncée plus haut signifie que si deux points matériels ont des masses fx et y! et sont placés à une distance u Tun de Tautre, Tattraction
exercée par l'un d^eux sur Tautre sera mesurée par ' "■«
ATTRACTION D UIÏE CODCHE SPHÉRIQUE.
il3. Considérons une couche homogène comprise entre deux sphères concentriques dont les rayons soient b et Cj et cherchons â déterminer T attraction exercée par
Fij;. 5a.
la couche sur un poiot maiériel K extérieur à ceUt
couche.
Soit M un point matériel de la couche \ nommons \i! sa masse et r, 6, ^ ses coordonnées polaires, en prenant le point O pour pôle, pour axe polaire la di-oite Ox qui passe par le point K, et cnGn pour plan ûxe le plan
xOy. Posons en outre
En nommant dS Télément de volume de la couche, on a (107)
et par conséquent, si p est la densité de la substance dont la couche est formée, ou a
L'attraction exercée par le point matériel M sur le point K aura pour expression (112)
c'est-à-dire
/ftp r* sin 0 r/r rf 0 d-l^
• 114. Les attractions exercées par tous les points de la
couche sphérique sur le point K sont des forces appliquées en ce point, et dont la résultante doit èlre dirigée suivant KO, car tout est symétrique autour de cette droite. Il suffira donc d'évaluer la somme des composantes partielles dirigées suivant KO. Or, la composante suivant KO de Tattraclion mutuelle des points M et K est
:^cosMKO=-^"'*''''-^"'-'"
VEUVlfeME LEÇON. 8e
on, en remplaçant fi! par sa valeur,
fl» | a* — r* /uûr^sinQdrdQd'^ ; ;
mais on a
a*=rû»-f-r* — 2arcos9,
d'où
uduz= arsinBdB,
Donc l'expression ci-dessus peut s'écrire
/^p r dr du d-^ / a* — r' \
llo. Pour intégrer celle expression, on remarquera d abord que t^ n'y entre que par sa diflércnlielle, car u et r sont indépendants de ^. En intégrant par rapport à t|>, depuis zéro jusqu'à a?:, on aura donc
lulégrant par rapport à £i^ on aura d'abord pour Tinlégrale indéfinie
J (• + —«.-)''" = « + -ir--^c-
1 16. Maintenant si le point K est situé entre le centre Fig. 53. et la couche sphérique, comme
la dislance
doit être positive et que les limites de 0 sont zéro et tt, les
ILnites correspondantes de u seront r — a et r + a* mais Il résulte de la qu'en multipliant par -^, — et inté-
Stckh- — Jl/fV.!. 6
8a couns de MécAiiiQUB.
grant par rapport à r, ou aura une cousiante pour Tintegralc indéfinie, et par suite zéro pour l'intégrale définie. On a donc ce théorème :
La résultante des attractions de tous les points maténels d^une couche sphcrique homogène sur un point matériel placé dans son intérieur est nulle.
117. En second lieu, si le point K est situé à rextérieur de la couche, après avoir intégré par rapport à ^, il faudra intégrer par rapport à u de ii = a — r à ii = a -i- /*, valeurs extrêmes de u : or
( I A ; — W«=a-4-r — «-t-r — {a — r — r — a)jr^^r\
par suite, en intégrant entre les limites 6 et c Texpression ^'^ or, on aura
On peut simpIiBer ce résultat, en observant que si m est la masse de la couche sphérique, p étant sa densité
et ^ TT (c' — i') son volume, on a
d'où résulte que l'attraction exercée sur le point est
De là ce théorème :
V attraction exercée par une couche sphérique homogène sur un point matériel extérieur à cette couche est égale à celle qu^ éprouverait ce point si toute la masse de la couche était réunie à son centre.
