Proposons-nous de trouver TaUraclion de rdlîpsoïde

sur un point intérieur («, 6, 7).

Pour avoir la valeur de R, il faut faire

IX =r a -+- a cosgf, yzzz^ -^ «cos/i, s :rr Y H- ttCOsX-,

dans Téquation (i), ce qui donne

(3) pu} -hiqur^l^

en posant

cos*^ . cos'/i cos'A

On tire de inéquation (3)

DIXIÈME LEÇOIV. QI

G>inine p et /sont positives, on a deux valeurs de u. Tune

positive, qui est — ^^ ^j 1 autre négative, qu il

faut rejelér, car le rayon vecteur est une quantité positive, sa direction étant déterminée par les angles gy A, /r, qui peuvent être aigus ou obtus. On prend donc

et l'on a, en intégrant par rapport à u la première des formules (3) du n° 12-1 et en omettant le facteur con- 8lant/pf),

A=:— / I KcosgsinBdBd^

(4) A= r M "" ^^'"^ ^^ cosg-smQ e/0 r/^^,

et de même

(5) B ^ C^lzdlIlL cash sin ô rfô d^,

{6) Czr :rrg--W-^/^^eos;^sînQe/Qi/4>.

129. On peut supprimer le radical ^y* -i- ^/ dans ces formules. Par exemple, la partie

r Clt^tEi cosg sin ô £/0 d^,

qui entre dans la formule (4), est nulle, car si Ton considère un élément de l'intégrale double correspondant à uue certaine direcliou (6, ^) du rayon vecteur, puis l'élément correspondant à la direction opposée (tt — 6, r:-j-^)y cosg ou cosd changera dç signe sans changer de valeur en passant du premier clément au second; il en sera de même de sin^ et cos^) quant à sind, il ne changera pas,

ff2 COURS DE MÉGÀVIQUB

de sorte que les deux élémeuts, étant égaux et de sîgues contraires, se détruisent. La valeur de A se réduit donc à

ou, eu remplaçant q par sa valeur (128),

-i-jjj — ^ sin9«/9df

130. En prenant deux éléments pour lesquels 6 ait deux valeurs supplémentaires tandis que ^ sera le même, ou, ce qui revient au même, deux éléments qui répondent à des valeurs supplémentaires de g et aux mêmes valeurs de h et de A:, on voit que les deux dernières intégrales sont composées de parties qui se détruisent deux à deux, et A se réduit à la première intégrale. Une simplification analogue aura lieu dans les valeurs de B et de C. On aura donc

c=.xrr!:2^:^sîn6rf9rf^

ou, en remplaçant p^ cosg^ cos/i, cosAi par leurs valeurs (124),

{ Ç Ç »«g'cos»OsinQr/0^i^

l " J J ^^<^cos'0-l-a2c*cos*rpsin'O-i-fl'6'siu*j;sin'O'

J ' " J J 6'c*cos'0 + «*c'cos'^sin'eH-a*^'sin'>psin*C*

~~'J J 6'c»cas'ô-ha'c»cos*4»sin»0-ha»^»sin2TÎ»sia'

DmÈME LEÇON. g3