PRINCIVB DES MOUVEMENTS RELATIFS

164. Il existe une relation entre l'intensité de la force qui sollicite un point matériel et la variation de vitesse que cette force produit. Cette relation se déduit d'un principe qu*il ne parait pas possible de démontrer à Taide du seul raisonnement, mais auquel on a été conduit par une multitude d'observations et d'expériences, principe qui est vérifié par l'accord constant des conséquences qui s'en déduisent avec les phénomènes observés. Ce principe consiste en ce que si des points matériels M, jS, P... se

meuifent dans V espace suix^ant des droites parallèles, avec une vitesse constante ou variable, mais qui soit la même pour tous à chaque instant, de sorte quils paraissent ne pas se déplacer les uns par rapport aux autres, si Vun des points, M par exemple, vient à être sollicité par une certaine force, le mouvement relatif du point M à V égard des autres points sera le même que le mouî^ement absolu qu aurait ce point M si le mouvement commun n existait pas et que le point M partant du repos fût encore sollicité par la même force.

Il8 COURS DE MÉCANIQUE.

C'est ainsi que sur un bateau transporté d'un mouve* ment reclîlîgnc et uniforme, les mouvements relatifs que nous imprimons aux corps transportés avec nous sont les m'èmes que si le bateau était en repos.

Mais cette loi de la nature ne peut être soumise à aucune expérience directe et rigoureuse. Elle est vérifiée par Taccord des conséquences qu^on en tire avec les faits observés, surtout en Astronomie.

165, Il résulte d'abord de ce principe que si un point matériel animé d'une vitesse acquise vient à être sollicité par une force dirigée dans le sens même de son mouvement, cette force lui communiquera, après un temps quelconque, un accroissement de vitesse précisément égal à la vitesse qu'elle lui imprimerait s'il partait de l'état de repos.

En effet, soit un point matériel M se mouvant uniformément sur une ligne droite avec une vitesse ^. Dans un temps quelconque 9, succédant au temps f, il parcourra un espace ^9 si aucune force n'agit sur lui. Mais supposons que, pendant le temps d, il vienne à être sollicité par une force P dans le sens de son mouvement. Désignons par Ç l'espace que cette force ferait parcourir au point M s'il parlait c!u repos, et par u la vitesse qu'elle lui im-

primerait au bout du temps 9, vitesse égale à — (158).

Alors le point M, animé de sa vitesse acquise \^el soUiciié en outre par la force P^ parcourra pendant le temps 0 un espace égal à ^'9 H- Ç. Car si l'on considère d'autres points sur la même droite Ox ou en di hors, se mouvant uniformément avec la vitesse i^y chacun d'eux parcourra dans le temps 9 l'espace \^9. Or, en vertu du principe des mouvements relatifs (16i), le point M, auquel seul est appliquée la force P, doit, au bout du temps 9, précéder les autres points dans le sens du mouvement d'une quantité égale à l'espace ^ que la force lui ferait parcourir s'il était d^aboril

TIlEIZlkME LEÇOK. XI9

en repos. Le point M parcourra donc l'espace i^0-+-$ dans le temps 9, et sa vitesse sera

Ainsi la vitesse i^ se trouve augmentée par Taction de la force P de la quantité m, c'est-à-dire de la vitesse que la foFce P imprimerait, après le temps 6, au mobile pris d'abord à Téiat de repos.

On voit de même que si le point mobile, animé d'une vitesse i', est sollicité par la force P en sens contraire de son mouvement, sa vitesse diminuera de la même quantité u et deviendra t' — u au bout du temps 9. Ainsi le changement de vitesse produit par une force qui vient solliciter un point en mouvement est indépendant de la vitesse précédemment acquise.

EFFET d'uHIB FORCE CONSTlSITB SUR UN POIliT MATÉRIEL.

166. Supposons maintenant qu'une force P, d'intensité constante, agisse d'une manière continue sur un mobile. Il résulte de ce qui précède qu'elle devra augmenter ou diminuer sa vitesse de quantités égales en temps égaux. En effet, soit u la variation de vitesse produite par cette force dans un premier intervalle de temps d, (^ + m sera au boui de ce temps la vitesse du mobile. Mais au bout d'un second intervalle de temps égal à d, sa vitesse devra être t'+ii-f-u ou i/+ a«) par la même raison, au bout d'un troisième intervalle de temps 9, sa vitesse est (^ + 3 1/, et ainsi de suite.

Soit a la vitesse que possède le point mobile à l'instant où la force commence à agir sur lui, et soit g la vitesse que la force imprimerait à ce point au bout de l'uni te de temps, s'il était d*abord en repos. Alors le mobile, au bout du temps /, aura la vitesse a-^ gt ou a — gt^ suivant que la force constante agira dans le sens de la vitesse

130 conns de mécanique.

initiale a ou en sens contraire. Le mouvement du point est donc uniformément varié (162).

GOMPÀRÀISOir DES FORCES, d'apRÈS LES MOUVEMENTS QU^ELLES IMPRIMENT AU MÊME POINT MATÉRIEL.

167. Nous n'avons considéré qu'une seule force agissant sur le point M. Supposons maintenant que ce mbbile, déjà animé de la vitesse v^ vienne au bout du temps t à être sollicité dans le même sens pendant le temps 0, par deux forces P et P' qui, en agissant séparément, feraient parcourir à ce point, pris à Tétat de repos, des espaces \ et (' pendant le temps 9 et lui imprimeraient des vitesses

d\ , dV

Imaginons que de la position M partent à la fois deux points matériels animés tous deux de la vitesse (^, mais l'un étant soumis simplement à Taction de la force P et Tautrc à l'action simultanée des forces P et P'. Le premier parcourra dans le temps Q l'espace (^6 -+- Ç, et, d'après le principe (164), le second aura sur le premier une avance de Ç'. De là il suit que ^^ô-j-J-l-J' est l'espace parcouru par le point matériel M qui, déjà animé de la vitesse (^, est sollicité pendant le temps 0 par les deux forces P et P^ Donc au bout de ce temps sa vitesse sera

dl dt

** -*- -77 H TT o" i* + a -4- a'.

Ainsi le changement de vitesse produit sur un mobile par V action simultanée de deux forces est indépendant de la vitesse acquise et est égal à la somme des vitesses qu aurait eues séparément le mobile si, pris à l'état de repos, il aidait été tour à tour soumis à V action de chacune des forces P et P'.

On verrait de même que si les forces P et P' agissaient

mCIZlÈME LEÇON. 121

en sens contraire, le changement de vitesse dans le temps d serait égal à u — m'.

168. Cela posé, il est facile de démontrer que deux forces d^ intensités constantes sont entre elles comme les changements de vitesses quelles peuvent produire séparément pendant le même temps sur un même point matérieL

En t^flfet, supposons qu'une force /agisse pendant un temps 0 sur un mobile dont la vitesse acquise est ^. Elle fera subir à ce mobile un accroissement de vitesse A. Soit k' la variation de vitesse qu'éprouverait le point par l'action séparée d'une autre force/'; si /et/' agissent simultanément, le changement de vitesse sera /r + A' (167). Donc si f =/, on aura k-i-k' = 2k. Ainsi une force 2/ produira un changement de vitesse égal à 2 A*; de même, une force 3/ produira un changement de vitesse égal à 3Ar, et en général une force /i/ produira un changement de vitesse égal à nk.

Soient maintenant P et P' deux forces d'intensité constante, et soient u et u' les changements de vitesse qu'elles produisent sur un même mobile pendant un temps 0, Je dis qu'on aura

En effet, si les forces P et P' sont entre elles dans un rapport commensurable, soit /leur commune mesure et soit

n et n' étant deux nombres entiers, de sorte que l'on ait

Si k est le changement de vitesse que produirait la force/ dans les circonstances déjà spécifiées, on aura

u=:/iAj u!z=.n*k^

laa COURS DE MÉCàNIQTJC.

d'où

donc

Si les forces P et P' n'ont pas entre elles un rapport commensnrable, je dis que Tégalité précédente aura encore lieu.

En eflel, divisons la force P en /i forces égales à y, de sorte que

en désignant par k la vitesse que produirait la force/*,

on aura

u =: nk.

Si y* est contenu n! fois dans P', on aura

n'fKC^u! <(/i'-f-ï)X.

Donc les rapports — et — tombent entre — et »

etj comme ces derniers peuvent différer d'aussi peu qu'on

voudra en prenant n sufGsammcnt grand, on en conclut

que

Ainsi des forces d'intensités constantes sont entre elles comme les changements de vitesses quelles font subir à un même point matériel^ quand elles agissent séparément sur lui, pendant le même temps