DE LA SURFACE TERRESTRE

216. Les formules que nous venons de trouver doivent devenir celles du mouvement uniformément accéléré quand on suppose la distance AB très-petite par rapport au rayon terrestre.

En effet, soit [Jig^ 72, p. i5o)

d'où

on a, formule (i). n^ 211,

?. !ir X

a r '\- h — X Comme h et x sont des quantités très-petites par rapport

l54 COURS DE MÉCANIQUE.

à r, on peut négliger h — x^ qui est ajouté à r, et remplacer a par r, ce qui donne

Maintenant dans la formule (3) (214) on peut remplacer

1 a — ax — « arccos

par

- a arc sin

in f — ^ax — jr* j ;

mais - et par suite - \/ax — a:* ou ai/-(i ) étant

très-petit, on peut remplacer l'arc par son sinus et à la

place de -a arc sin ( - \Jax — x" ) écrire \Jax — x*.

Par la même raison, négligeant x^ devant ax et remplaçant a par r, la formule (3) devient

OU

DIX-SEPTIÈME LEÇOir. l53

DU MOUVEMENT RECTIUGNE DES POINTS ATTIRÉS OU REPOUSSÉS PAR DES CENTRES HXES.

MoaTement de deux points qui s'nttirent en raison inyerse du carré des distances. — Mouvement d*un point attiré par un centre fixe en raison directe de la distance. — MouTement d*nn point repoussé par un contre Cxe en raison directe de la distance.

IftOCVEHEHT DE DEUX POINTS MATÉRIELS QUI S*ATTiaEST EN RAISON INVERSE DU CARRÉ DES DISTANCES.

217. On peut ramener au problème précédent (211) le mouvement de deux points matériels qui s'attirent eu raison directe des masses et en raison inverse du carré de la dislance.

Les équations du mouvement de ces deux points, en appelant m et ni! leurs masses, x et x' leurs distances a une origine prise sur la droite qu'ils parcourent et u leur distance au bout du temps f , seront

on a donc

m ---- H- nr — — - = o, di^ dt^

d^où l'on déduit

mx -f- /w' j/ m -h m'

z^at-hb.

c*est-à-dire que le centre de gravité des deux masses se meut uniformément. On a ensuite

d^x d^x' f[m^ni') "dF d,^' "" û'

l56 COURS DE MÉCANIQUE.

OU, à cause de a:' — a: = //,

"dt '^ â> '

Donc l'un des points se meulpar rapport à Tautre comme sMl était attiré par une masse égale à [m-^m') placée en un centre fixe» On déterminera donc u en fonction de t comme dans le problème précédent, puis on aura les valeurs de X et de x* par les équations

3C — x=.Uy -, — =iai -^ o.

/il -+- m

mouvemeut d'ui« point attiré en raison directe

de la distance.

218. Considérons un point matériel placé d'abord au p. , point A où sa vitesse est nulle

et attiré par un centre fixe O, en raison directe de sa distance à ce dernier point, que nous pren« drons pour origine. Comme la force attractive tend à diminuer Tabscisse variable x du point mobile, on a Téquation

n* étant la mesure de Taltraction exercée sur Tunité de masse du corps à Tunilé de distance. Multiplions de pari et d'autre par 2dxy nous aurons

*ld.Td^jr ^ ,

; = — ^n^xdx,

dt^

d'où, en intégrant,

dx*

dv

la constante étant déterminée par la condition que — oa i> soit nulle pour x = a.

DIX-SBPTIÈI^B LEÇON. iSj

Comme la vitesse du mobile est négative quand il va dans le sens ÂO, on a

ou

dx ndt-zzL -___-.

v/fl* — X»

Intégrant et déterminant la constante par la condition que Ton ait à la fuis t = o, a: = a^ ce qui la rend nulle on a

nt z= arc cos a

ou

(3) a:=zacosnt;

et ensuite

(4) «* = — nasinnt.