Lorsque le point mobile arrive en O, on a
x = o et ne= —9
d^où
ir
Parvenu à ce point, sa vitesse est égale à — na. Le mobile dépasse donc le point O et continue sa roule en vertu de sa vitesse acquise. Pour déterminer le point A' où il s'arrê-
fera, faisons i> *= o, il en résulte /if = rr, d'où f = - et
par suite x = — a. Ainsi OÀ' =: OA.
Arrivé en A' où il n'a plus de vitesse, le mobile se trouve placé par rapport au point O, comme il l'était en A. Il sera donc attiré avec une vitesse croissante de A' jusqu'au point O où sa vitesse sera nay puis continuera sa route en vertu de sa vitesse acquise jusqu'en A, pour revenir de nouveau en O, et ainsi de suite.
Ainsi le mobile fera une infinité d'oscillations toutes
l58 COURS DE MÉGAiriQUE.
égales entre elles et de même durée, de A en A' et de A' en A.
' 220. On peut, comme dans le cas précédent (215), représenter par une construction géométrique la relation qui existe entre l'espace et le temps. Sur A A' (Jig> 74? n° 218) comme diamètre décrivons une demi -circonférence. Soit 0!Vl = jc, et menons MN perpendiculaire à AA'. Le triangle rectangle ONM donne
AN x^^ a cos — ; a
mais
X zzz a cosntf
donc
Ainsi — représentera le temps que le mobile emploie à aller du point M au point A.
UOUTEMENT d'uN POINT KEFOUSSÉ PAR UN CENTRE FIXE EN RAISON DIRECTE DE LA DISTANCE.
221. Examinons maintenant le cas d*un point matériel repoussé par un centre fixe O, en raison directe de la distance.
Supposons qu'à Torigine du temps le point matériel
Fig. 75. placé àunedistauceOAr=a
^ À * du centre fixe soit animé
d'une vitesse dirigée vers le point O et représentée par
— nb,
La force accélératrice, positive puisque la répulsion tend à augmenter l'abscisse du point M, étant représentée par Tz'x, on aura
d'où l'on déduit, en multipliant par ^dx et intégrant.
DIX-SEPTIÈME LEÇON. iSq
Mais, pour f = o, on a — ou p = — nb^ x = a; donc d^où, en éliminant la constante,
Oc en déduit
dx
= — ndt
y/i» 4- ^a __ fl»
oa
(3) «» = — /i v/x' H- 6' — fl».
On prend le signe — , parce que la vitesse est d'abord négative. En intégrant de nouveau et ayant égard aux circonstances initiales, on aura
* r-L = — nt
OU
+ )/x^ 4- ^' — rt» = (a -f- Z>)tf-«'.
On tire facilement de cette équation
(4) 2ar = (a-+-ô)^-«'4- (a— ô)tf"'.
222. Examinons maintenant quelques cas particuliers. La formule
montre que la vitesse ne peut jamais être nulle, si l'on a **>«'• Dans ce cas le mobile atteindra l'origine lors* qu'on aura
valeur positive, puisqu'on a ^é" — «* < a -f- i. Sa vitesse étant alors —n yjb^— a*, le mobile dépassera le point G, cl il est clair qu'il se mouvra indéfiniment vers la gauche.
iSo COURS DE MÉCANIQUE.
Si Ton a & •< a, la vitesse sera nulle lorsque Ton aura
ce qui correspond à un point placé entre O et A, et cette circonstance arrivera à une époque donnée par
II est clair qu'arrivé au point B le mobile, repoussé par Tactiou du centre fixe, commencera à se mouvoii* vers la droite, et sa vitesse sera positive. Il faudra donc, à partir de cet instant, prendre la formule
p= -4- Vj:»-f- A^ — a».
Dans ce cas le mobile ne passera jamais par le point O, car la formule
donne pour a: = o
a -h b valeur imaginaire^
Enfin si Ton a. b = a, les formules se simplifient^ et Ton a
p=: — /ZJT,
La première montre que Ton a ^' = o pour x = 05 mais la seconde ou la troisième donnant pour x = o, t = oo , ou voit que le mobile approchera continuellement du point O, mais n'y arrivera jamais.
niX-HUITlEMB LEÇON.
