Reprenons les équations (o97} d^.x V
d'z 'dF
qui ont lieu dans le mouvement de tout corps solide libre ou de tout système qui peut se mouvoir comme un corps solide. Soient Xi,yi, z^ les coordonnées du centre de gravité et M la masse totale du système. On a toujours
Mxi = \ mx, Mj, =: \ my , Mz, = \ mz
et, par suite,
dt.
Za ' dt
\ dt
Z) dt
dt
^2j"~dt'
Si l'on suppose un point matériel toujours placé au centre de gravité du système, ces formules feront connaître sa vitesse à une époque quelconque, lorsqu'on connaîtra celles de tous les points du système.
En différentiant de nouveau les équations (2) et en ayant égard aux équations (i), on trouve
igS COUKS DE MÉCANIQUE.
Delà résulte le théorème suivant :
Le centrée de grauité de tout système ld?re se meut comme si les masses de tous les points matériels j étaient réunies et que les forces motrices j fussent transportées parallèlement h elles-mêmes.
601 . Si l'on connaît le mouvement de chaque point du système, celui du centre de gravité sera également connu à un instant quelconque, au moyen des formules
M.r, = \ mx^ Mj, =\ wj, Mz,
sans qu'on ait besoin de recourir au théorème précédent; mais celui-ci est principalement utile pour déterminer le mouvement du centre de gravité, lorsqu'on ne connaît pas ceux de tous les points du corps. Toutefois il faut connaître l'état initial du système afin d'avoir la position et la vitesse initiales du centre de gravité.
VITESSE IKITIALE DU CENTRE DE GRAVITÉ d'uN SYSTÈME MIS EN MOUVEMENT PAR DES FORCES INSTANTANÉES.
602. On peut supposer que le système d'abord en repos soit mis en mouvement par des percussions. Déterminons, dans cette hypothèse, la vitesse initiale que doit prendre le centre de gravité.
Remarquons à cet effet C[ue si 0 est le temps pendant lequel agissent les percussions, l'équation
donne
clr
m — = > 1 l Xdt
Or, soient «, b, c les composantes de la vitesse que la percussion P (X, Y, Z), appliquée au point m, lui donne-
QUARANTE-SIXIÈME LEÇOW. 1 Qg
rait s'il était libre. On sait que /
par conséquent
dx m -—
dt
La même formule aura lien pour les autres axes. Ou a donc, en ayant égard aux équations (2), n'^599,
dt ^a dt ^ dt
„ , dx^ dy^ dz^ ,
lormules qui donnent les composantes ——5 ——5 — r- de
' ^ r/f <r/^ dt
la vitesse avec laquelle le centre de gravité doit commencer à se mouvoir. On voit que cette vitesse est celle que prendrait un point ayant la masse M, placé au centre de gravité et qui serait sollicité par toutes les forces instantanées du système transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point. En considérant com'lie Jiu tant de forces les quantités de mouvement que ces percussions imprimeraient à des masses libres, on concevra ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité, et l'on prendra leur résultante. La vitesse initiale du centre de gravité sera dirigée suivant cette résultante et égale à la valeur numérique de la même résultante divisée par la masse M.
