Les sommes\ [Y x — Xj), .... qui forment les

seconds membres des équations (i), sont nulles lorsqu'on supposant le système solidifié, les forces qui le sollicitent se font équilibre, ou bien encore lorsqu'elles se réduisent à une force unique passant par l'origine des coordonnées. Dans ces deux cas on trouve, en intégrant les équations (i),

dy cî.T

dt~-^ dt dx dz

dt ' dt, dz dr '

Les valeurs des constantes c, c', c" se déterminent d'après les positions et les vitesses initiales des points du système. 11 résu.lte des équations (2) que la somme des moments des quantités de mouvement des masses du système par rapport à cbacun des axes coordonnés, et, par conséquent, par rapport à une ligne droite quelconque est constante.

608. Donc si, à un instant quelconque, on considère comme des forces les quantités de mouvement qui animent les différents points du système, qu'on les com-

2o4 COURS DE MÉCANIQUE.

pose comme si elles étaient appliquées à un corps solide, et qu'on les réduise à trois forces dirigées suivant les axes et à trois couples parallèles aux plans coordonnés, on trouvera toujours la même résultante et le même couple résultant par rapport à une même origine. Le moment de ce couple résultant est h = \Jc'^ -f- c'^ + c''^ , et son plan, perpendiculaire à la droite qui fait avec les

c" c' c axes des angles ayant pour cosinus —•> —•, -? a pour

ri K k

équation

c" X + c' j 4- es = o.

PraNClPE DES AIUES.

Tm. i63.

609. Les équations (2) peuvent être envisagées sous un autre point de vue.

Pendant que le point M(x,j^, z) décrit sa trajectoire MA, la projection OP, de son rayon vecteur OM sur le plan xOj, décrit pendant le temps twne aire BOP ou A dont la différentielle est

d\ = — [xdf — jdx).

La première des équations (2) donne

I dt

d'où, en intégrant.

et.

Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que "k doit être

nulle pour t= o. En désignant par X' et W les aires décrites par les projections du rayon vecteur sur les autres plans coordonnés, on aura de même

Chacune des constantes c, c', c" représente le double de la somme des aires décrites dans l'unité de temps, par la projection de chaque rayon vecteur sur l'un des plans coordonnés. De là résulte ce théorème :

Quand les forces motrices appliquées à un système se font équilibre en supposant le sjstème solidifié, ou bien quand toutes ces forces ont une résultante unique passant par V origine des coordonnées^ la somme des aires décrites par les projections du rayon Deeteur sur chacun des plans coordonnés multipliées respectivement parles masses des points correspondants est proportionnelle au temps. C'est ce qu'on appelle le principe de la consers^ation des aires.

Cette loi a lieu en particulier quand les forces motrices du système se réduisent à des actions mutuelles entre ses différents points ou à des forces constamment dirigées vers un même point fixe, pourvu qu'on prenne celui-ci pour l'origine des coordonnées. En effet, lorsqu'on su|>pose le système solidifié, toutes ces forces se détruisent. Si l'on suppose le soleil fixe, toutes les forces motrices des planètes se réduisent à des forces dirigées vers le centre du soleil et à des attractions ou à des répulsions mutuelles qui se détruisent deux à deux. Le principe des aires doit donc être vérifié par rapport à tout plan mené par le centre du soleil.

Le principe de la conservation des aires subsistera s'il survient dans le système considéré des chocs ou des explosions qui proviennent toujours d'actions mutuelles entre les molécules.