DU PRINCIPE DES AIRES DANS LE MOUVEMENT RELATIF

611. J usqu'ici nous avons supposé l'origine des coordonaées fixe dans l'espace. Prenons maintenant pour origine un point mobile avec le système. Soil Oi ce point. Désignons par Xiyji, Zi ses coordonnées par rapport à un système fixe 0x,0y,0z. Soit jji un point ayant pour coordonnées x,/, z dans l'ancien syslème et ^^ r;, ^ dans le nouveau composé de trois axes Oi^Ti, Oij^, O^z^ parallèles aux anciens et mobiles avec le point Oj. Ou aura

(r) x=:a:, -f-Ç, j = ji + vi, z = Zi H- i;.

Remplaçons a:, j>^, z par ces valeurs dans les équations (i) du n° 606, sans toutefois faire cette substitution dans

—-■> —7—5 -; — La première devient dt' df df ^

■Zd dt^ Là dP Zd \ dt- dt

\ =:,r,yY-j,yx+y(Y>-x>,).

Ici nous sommes obligés de supposer qu'il n'y a dans le système aucun point fixe. Alors on a, en vertu des trois premières équations du système solidifié (597),

L'équation (2) se simplifie et devient

fi^ ,77 cl^ V

Remplaçons maintenant—— et — — par leurs valeurs

QUARAKTE-SEPTIÈME LEÇON. 20'J

duites des équations (i). Nous aurons

l > w t— —, — y mn

\ df Zâ ' dt' ^

(^^ ' -- ' rP-. d^^\ ^

612. On aurait deux autres équations analogues. Oa voit que, pour qu'elles deviennent semblables aux équations (i) du n° 608, ii faut et il suffit que

-— - > 77z^ — > in-fi et les deux autres quantités

analogues soient nulles. C'est ce qui peut être fait de différentes manières.

On y parvient d'abord en prenant pour origine mobile le centre de gravité du système, car alors \ /7z |,

y inn^ \ m^ sont nulles. On a dans ce cas les trois équations

Ces termes disparaissent encore et Ton retombe sur les équations précédentes si l'on prend pour origine mobile un point qui ait dans l'espace un mouvement rectiligne et

unitorme, car alors — ; — ? -— — •> — — sont nulles,

' dt^ df dt'

Enfin il existe une dernière manière, mais beaucoup moins utile, de parvenir au même résultat : c'est de déterminer le mouvement du point O^ d'après les condi-

2o8 COURS DE MÉCANIQUE.

tioiis

d'^Xi d'^y, d- z,

dt^ ~dF ~~dF

Ces équations signifient que la force accélératrire du point Oi, ou celle qu'il faudrait lui appliquer à chaque instant pour lui donner le mouvement qu'il a réellement, doit être constamment dirigée vers le centre de gravité

du système, puisque \ mP, \ mv-, \ int sont propor-

tionneîles aux coordonnées mobiles du centre de gravité (11, V/i, ^t) du système.

613. Si l'origine des coordonnées mobiles est choisie de l'une de ces trois manières, on aura, par rapport aux axes dont l'origine est mobile, des propriétés semblables à celles qu'on a trouvées pour des axes fixes, puisque les équations (5) ont la même forme que les équations (i) du n" 606. D'abord si les forces se font équilibre, en supposant le système solidifié, ou si elles se réduisent à une seule passant par l'origine mobile, les seconds membres des équations (5) sont nuls et on en conclut encore que la somme des aires décrites par les projections des rayons vecteurs sur un des plans coordonnés, multipliées par les masses des points correspondants, croît toujours proportionnellement au temps ouest constante dans des temps égaux. Ainsi le principe de la conservation des aires est vérifié relativement à ce plan mobile. Dans notre système planétaire, par exemple, on peut prendre pour origine des coordonnées son centre de gravité : car, en supposant que les étoiles n'agissent pas sur le système, le mouvement de ce point est rectiligne et uniforme (604). Du reste les forces motrices de ce système se réduisent à des actions mutuelles entre ses différents points, en sorte qu'il véri-

fie le principe des aires relalivement à un plan quelconque passant par son centre de gravité.