Considérons toujours un système de points en
mouvement pour lequel le principe des aires a lieu, en
Fig. 169. prenant pou.r origine un
point O fixe ou mobile
suivant les conditions
établies précédemment,
et proposons -nous de
trouver un plan tel, que
la somme des produits
des masses par les aires
que décrivent les projections de leurs rayons vecteurs sur
ce plan soit un maximum.
Le rayon vecteur Om du point m décrit une surface conique dont l'élément mOn est dans le plan tangent. Soit da cet élément et appelons a, ê, y les angles que la perpendiculaire OD à son plan fait avec les axes coordonnés Ox, Oj, Oz. Désignons par co l'aire décrite par la projection du rayon vecteur O m sur un plan quelconque P, perpendiculaire à une droite qui fait avec les axes les angles A, B, C. En appelant B l'angle DOE, ou l'angle que le plan de l'aire da fait avec le plan de projection P, on a
ûfw z= da cos9,
puisque d(x) est la projection de da sur le plan P.
D'ailleurs les projections de da sur les plans xOj, xOs, jOz sont JX, JA', dl"^ et l'on a
et
d\" =z cl a cos Cf., dV = d (j cos§ , dl =d(JCOsy
cosQ = cosacosA H- cosScosB H- COS7COSC. Stukm. — Méc, II. l4
En multipliant cette dernière par da et ayant égard aux équations précédentes, on aura
d(à z=z f/X^cos A H- f/>.'cosB + d\ cosC,
d'où
w = y cosA + ).'cosB H- \ cosC;
par conséquent
\ ww = cosA'^ otX"+cosB% njV-i-cosC\ ml.
Mais on sait que (609)
\m\=.-ct^ \ml'=i-c't, \m\"=-c"t, donc on a
TOw =: (c"cosA + c'cosB -f- ccosC) -•
Dans cette équation, le coefficient de t est constant, le plan P étant donné.
Posons
On peut écrire
Sfc" c' c \ k
moi = I -r cosA + — cosB + — cosC ) - t.
c" c' c Il est permis de regarder -yi -f> -j comme étant les cosi-
nus des angles formés par une certaine droite OF avec les axes coordonnés, droite dont la direction est indépendante de la position du plan P. Par conséquent, si nous concevons un plan tt perpendiculaire à OF, la position de ce plan ne dépend pas non plus de celle du plan P. Or tp étant Fangle EOF ou l'angle des plans P et tt, on a
coso/ = Y cosA + — cosB -\- — cosC,
QUARAKTE-SEPTIÈME LEÇON. 211
par suite
(3) / WW= - fcl COS(f.
Ainsi la somme des aires décrites sur le plan P, multipliées respectivement par les masses des points correspondants, est égale au produit de - kt par le cosinus de l'angle
des deux plans P et ::.
Comme la quantité It ne dépend pas de la position du
plan P, l'équation (3) montre que la quantité \ m(t> est
maximum lorsque (jp est égal à 90°, c'est-à-dire lorsque le plan de projection P coïncide avec le plan tt. On a alors
(4) ^/«co:=^/;-^
Jl existe donc un planjîxe tel, que la somme des aires dédites pendant un temps quelconque par les projections des rayons vecteurs des points mobiles sur ce plan, multipliées par leurs masses, est plus grande que pour tout autre plan de projection. Ce plan est toujours le même, quel que soit le temps écoulé. On l'appelle pour ces deux raisons plan du maximum des aires ou plan invariable. Son équation est
c" X H- c' y -+- cz = o
et la somme \ ni(x) relative à un autre plan de projection
se déduit de celle qui se rapporte au plan tt, en la multipliant par le cosinus de l'angle des deux plans.
Ce plan est le même que celui du couple résultant des quantités de mouvement du système solidifié, qui a été déterminé précédemment (602).
COURS DE MÉC.VjNIQUE.
