PRINCIPE DES FORCES VIVES

615. Considérons un système de points /?^, m', m" ^ . . . , sollicités par des forces P, P', P'', .... dont nous désignerons les composantes parallèles à trois axes rectangulaires par Xj Y, Z, X', Y', Z', . . . . Eu combinant le principe de d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles on obtient l'équation

di-

d\r IF

d'z di-

Sz

Les liaisons du système étant exprimées par un certain nombre d'équations

qui doivent être satisfaites, à une époque quelconque, par les coordonnées des points du système et par ces coordonnées après un déplacement virtuel, il en résulte (489) que les variations des coordonnées sont assujetties à satisfaire aux équations suivantes, dans lesquelles le temps est

QUAnAKTE-HL'ITlÈME LEÇON.

supposé constant :

dh ^ r/L . (IL ^ dh ^ ,

—-§.T-h-—Sr-+-^Sz-T--r-,Sx'-^... = o, dx dj dz dx

(n) l dM ^ dM , d^\ • dM „ ,

d.x dy dz dx

D'un autre côté, dans le mouvement effectif du système, les coordonnées des points devant satisfaire aux équations de condition (2), on a, en différentiant celles-ci par rapport à ?, variable indépendante,

IdL , f/L , rfL , r/L , ^L , ,

' — - dt H — dx + ■ dy -\ dz H dx' -i- . . . = o,

dt dx dy dz dx'

(4) {d^\ , d-M , f/M , f/M , du , ,

^^' ^ —- dt + —- dx ■+■ —- dy -\- ~- dz + —--dx'^...~o. dt dx dy dz dx

On a déjà expliqué la distinction essentielle c[ui existe entre les variations ^x, ^y-, Sz, qui répondent à un déplacement virtuel du point M, et les différentielles dx, dy, dz, qui se rapportent au déplacement réel que prend ce point, dans le mouvement général du système. Supposons que les équations de condition ne renferment pas le temps explicitement. Alors les dérivées partielles

ffL dM , ,, , , . ,,, > / , >

— 5 ——■,••'■> étant nulles, les équations (0) et (4) montrent qu'on pourra faire

^x = dx , Sy = dy , §z = dz , Sx' = dx' , . . . .

Ainsi, parmi tous les déplacements virtuels, compalibles avec les liaisons du système, il sera permis de choisir celui qui se rapporte au mouvement réel de chaque point. Alors léquation (i) deviendra

d'^x\ , / , dY\ I dz

X—m ]dx + [ Y— m - •^- ]dy -f- I Z — o? —

df / \ dp -^ \ dt

21 4 COURS DE MÉCANlQtJE.

OU

(5) y m —~ > (X f/x -\-^dy + Zdz)=.o.

Mais à cause de

dx^ + dj"" -h dz""

I dxd'^.x -^ dyd'^y + dzd^z - (/p' = -— -j

d'où résulte

(6) d\ mi>^='2\{Xd.x-hYdy + Zdz),

OU, en appelant dp la projection du chemin parcouru par le point M sur la direction de la force P,

{ n ) <-/ \ WC^ =: 2 \ P dp.

Donc la différentielle de la somme des forces vives de tous les points du système est double de la somme des quantités de travail élémentaire des forces motrices.

616. Si l'on intègre l'équation (6), entre les limites /o et f , on aura, en désignant par Uq la vitesse initiale du point M,

y me'— y nu'l = 2/ y {Xd.c -h Ydy + Zdz).

Donc dans tout système dont les liaisons sont indépendantes du temps^ V accroissement de la somme des forces vives de tous les points, pendant un temps quelconque, est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces pendant le même temps.

QUAUANTE-HUITIÈME LEÇON. 21 5

Ainsi la difréreiice des deux sommes de forces vives à deux époques quelconques ne dépend que des coordonnées des points mobiles à ces deux époques et nullement de leurs liaisons ni des chemins qu'ils ont suivis pour passer d'une position à une autre.

axjtre démonstration

617. La force P, qui agit sur le point M, peut être décomposée en deux forces, la force tangentielle m — et la

force centripète - — ■•> p étant le rayon de courbure de la

trajectoire au point M. Des forces égales et contraires à ces deux dernières forces étant jointes à la force motrice P, il doit y avoir équilibre et par suite la somme de tous les moments virtuels doit être nulle.

On démontrerait, comme précédemment, que si les liaisons du système ne dépendent pas explicitement du temps, on peut prendre pour le déplacement virtuel de chaque point son déplacement réel ds. Soit dp la projection de ds sur la force P : le moment virtuel de celte force est Vdp : celui de la force tangentielle, prise en sens contraire, est

— m --- ds =■ — m — dv = — m<>dc; dt dt '

celui d'une force égale et contraire à la force centripète est nul. On a donc

\ Vdp — \ mudc z=z o.^

on

[']) d y /«p-= 2 y vdp ^

d'où l'on déduit encore l'équation ['6).

2l6 COURS DE MÉCANIQUE.