CONSÉQUENCES DU PRINCIPE DES FORCES VIVES

618. Quand il n'y a pas de forces motrices appliquées au système ou si les forces se font équilibre à chaque instant, on a

\ Vdp = o,

et l'équation (7) donne

\ mv"^ = const.

Ainsi , dans un système, assujetti à des cojiditions quelconques, mais qui ne dépendent pas explicitement du temps, s^il nj a pas de forces motrices ou si les forces motrices se font continuellement équilibre , la somme des forces vives reste constante.

Ce principe est connu sous le nom de principe de la conservation des forces vives. Observons que dans les systèmes où il a lieu, les points n'étant soumis à aucune force motrice, leurs vitesses ne varient qu'en raison de leurs liaisons et de l'obligation de se mouvoir sur des surfaces ou sur des courbes fixes.

619, Supposons que la fonction

\ [-^dx -hYdy + Zdz)

soit la différentielle exacte d'une fonction des variables x, y, z, a:',. . . , considérées comme indépendantes ou comme liées entre elles par les équations L = o, M = o, . . . Soit

(i) i\{^dx + Ydy -^ Zdz) = df{.x, j, z, x', ...).

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On aura, en intégrant l'équation

(2) dy rm'- = iy{'y^dx'-^Ydf -hZdz] par rapport au temps,

(3) \mv^ = C-\-f{a:,y,z,x',y',...).

Pour déterminer la constante C, désignons par i^o îa vitesse d'un point quelconque M, et par Xo,yo5 -o? ses coordonnées à une époque quelconque fo- On aura

(4) X"'"» =^+/(''^"'^'«'^'"- • -n et, par suite,

(5) \ tm>^ — \ im'l=f[.T,j,z,x\...)—f{x,,Xo,z,,-..).

Donc lorsque le système passe d\ine position à une autre, r accroissement de la somme des forces vi^^cs ne dépend que des coordonnées des points dans ces deux positions. Pour évaluer cet accroissement, on n'a besoin de connaître ni les liaisons des points dans cet intervalle, ni les chemins qu'ils ont suivis, ni le temps qu'ils ont mis à les parcourir.

620. L'équation (5) montre que si les points mobiles occupent la même position à deux époques différentes tel to, la somme des forces vives aura la même valeur à ces deux époques. On aura dans ce cas

pourvu que, les coordonnées des points reprenant les mêmes valeurs, la fonclion/(ji:, j, z,x' , . . .) re[)renne aussi la même valeur. C'est ce qui pourrait ne pas avoir

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lieu. Par exemple, si dans

\{Xdr + Ydx~hZdz) 'Y* fiY' y djr

on a une partie telle que ——^ — —^ — qui est la différence -\- y

tielle d'un arc 9, dont la tangente est-> si le point m revient à la position qu'il a déjà occupée en tournant toujours dans le même sens autour d'un axe, quelle que soit la courbe décrite, l'angle 0 aura augmenté de a?:, de sorte que la fonction/" dans laquelle entre Q n'aura pas repris sa valeur primitive.

621. Vex^resûon^ (Xdx -i-Y dy -\-Zdz) est la différentielle exacte d'une fonction dea",j', z^x' , . . . quand les forces motrices sont constamment dirigées vers des centres fixes, et qu'elles sont fonctions des distances de leurs points d'application aux centres. Cela arrive aussi quand les forces proviennent d'attractions ou de répulsions mutuelles entre les points du système, actions dont les intensités sont fonctions des distances des points entre lesquels elles s'exercent.