Par un point O du plan des forces P, P', P
Fig. 120. menons une droite x'Ox
P" perpendiculaire à la direction communedc ces forces.
Appliquons au point O des r~F forces égales et directement opposées, d'ailleurs égales - p ^p ctpaiallèles respectivement
^-'"' à P,P',P". ...On n'aura
plus qu'à considérer les forces P, P', P' , - . . , appliquées
12 COURS DE MÉCAIVfQUE.
au point O, et les couples (P, — P), (P', — P'), . . . . La résullanle des foixes appliquées en O devant être nulle, on aura (i) Ph-P' + P'' + ... = o,
en considérant comme positives les forces qui tirent dans un sens, et comme négatives celles qui tirent dans le sens opposé.
307. Ensuite le moment du couple résultant de tous les couples (P, — P) (P', — P') , . . . devant être nul, on aura, en nommant x, x\ x"^. . . les bras de leviers des couples composants,
(2} Vx-{-V'x' + V"x" . . .-^o.
Cette égalité aura lieu en regardant les forces P, P', P", . . . comme positives ou négatives, suivant leur sens, et les bras de levier comme positifs ou négatifs, suivant qu'ils seront situés d'un côté ou de l'autre du point O. En discutant les quatre cas qui peuvent se présenter relativement au sens de chaque force et à la position de son point d'application, on verra que chacun des produits P.r, P'x',. . . prend de lui-même le signe qui convient au moment qu'il représente.
308. Si les forces données ne se font pas équilibre, elles se réduiront à une force R et à un couple (S, — S), lesquels auront une résultante unique 5 car II et (S, — S) sont dans un même plan. En effet, en introduisant une force — R, égale et parallèle à R, appliquée à un point dont Xi sera l'abscisse, il y aura équilibre, si l'on pose
R^, = P^ + V' x' -\-. .,, Puisque d'ailleurs
R = P + P' + P" + . . . „ on aura donc
VINGT-HUITIÈME LEÇON. là
Ces formules déterminent Ja grandeur et la position de la résultante du système, laquelle est égale et directement opposée à la force — R qui lui fait équilibre.
3S9. Si la force R ©tait nulle, le système se réduirait au couple (S, — S), qui ne pourrait pas être tenu en équilibre par une simple force. Dans ce cas seulement il n'y aurait pas de résultante unique.
COMPOSITION ET ÉQUILIBr.E d'uN SYSTEME DE FORCES SITUÉES DANS VN Mi£ME PLAN,
360. Soient P, P', P'', . . . , les forces données; d'un point quelconque O, pris dans leur plan, abaissons sur leurs directions les perpendiculaires OA, OB, OC, . . . , et regardons A, B, C, . . . comme les points d'application des forces correspondantes. Transportons toutes ces forces parallèlement à ellesmêmes au point O. Elles auront une certaine résultante R, et les couples provenant de cette translation se composeront en un seul dont le moment G sera donné par la formule
G = Pp-h py + . . . ,
p, ;>', . . . désignant les bras de levier OA, OB, ... ; on convient en outre de prendre positivement les moments des couples qui tendent à faire tourner leur plan dans un certain sens et négativement ceux des couples qui agissent dans le sens contraire.
361. Dans le cas de l'équilibre, G doit être nul. On aura donc
(l) P/5-|-P'// + PV + ---=0.
Ensuite la résultante R devant être nulle, si X, Y,
l4 COURS DE MÉCAKIQUE.
X', Y',.-' désignent les composantes dos forces suivant deux axes pris dans le plan, on aura
(2) Xh-X' +X"-^ . =0,
(3) Yh- Y'-T- Y"-f ...:=o.
On appelle moment d'unefoicepar rapport à un point le produit de cette force par sa distance au point en question.
On convient de regarder le moment d'une force comme positif ou négatif, suivant que celte force tend à faire tourner la perpendiculaire abaissée du point fixe sur sa direction dans le sens direcl ou dans le sens rétrograde. En adoptant celte définition, on voit que :
1° Lasonime des moments des forces par rapport à un point quelconque de leur plan doit être nulle; 2° les sommes des composantes suivant deux axes quelconques doivent être nulles séparément.
362. On peut écrire l'équation (i) sous une autre forme, d'après laquelle les moments prennent d'euxmêmes les signes qui leur conviennent.
Soit P l'une quelconque des forces données. Avant de Fig. 122. la transporter au point O, dé-
yj / composons-la en deux forces X
et Y, parallèles aux axes. La
/A X translation des forces X et Y au
/ poinlOdonnera naissanceàdeux
— X 0/ i) X B x~ couples (X, — X), (Y, — Y), et
~y en appelant 0 l'angle des axes,
et x^j les coordonnées du point A, les moments de ces deux couples sont Xj'sin0, Yxsinô. Pour un observateur placé sur la perpendiculaire menée par le point O au plan xOy^ le couple (X, — X) tendrait à faire tourner son plan de gauche à droite, et le couple (Y, — Y) de droite à gauche, en supposant les forces dirigées suivant les parties positives des axes. Il faut donc désigner leurs
VINGT-HUITIÈME LEÇON. t5
momenis par Xy sin 9 et par — Y.r sinÔ. On reconnaîtra ensuite aisément que si une force ou l'une des coordoniie'es change de signe, le couple changera de sens, et par conséquent son moment prendra de lui-même le signe convenable. En opérant de même sur ^', p", . . . , l'équation (i), après la suppression du facteur commun, prendra la forme
(4 ) Xj - Y.r + X'j' — Y'^' -t- X" j" ^ Y".r" -{-... = o.
363. Si les forces données ne se font pas équilibre, elles se rédufront à une force R et à un couple (S, — S) qui auront une résultante unique, si R n'est pas nul, puisque celte force et ce couple sont dans le même plan.
Une force R' r::::^ — R égale et contraire à la force cherchée devant former avec R un couple qui détruise (S,— S), en appelant /' le bras de levier du couple (R, — R), on aura
d'où Ton déduira r. La force R sera donc connue en grandeur et en direction.
Pour obtenir la direction suivant laquelle agit la résultante unique — R', soient J^i,j)^i les coordonnées d'un point quelconque de celte droite, et Xj, Yj les composantes de la force R parallèles aux axes. Il y aura équilibre dans le système après l'introduction de la force — R ou, ce qui revient au même, des forces — X,, — Yj, On doit donc avoir
-X,r, +Yx, + X7- Y^-+-X'j'-.. .-^o,
ou en posant
G= Xj — Yo: H- X'j ' — Y'^' + . . . , on aura
équation de la droite cherchée.
lO
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE l'ÉQUILIBRE.
