Considéi ons maintenant un système quelconque
de forces P, P', P'', . . . appliquées à des points A, A', A". . . . liés entre eux d'une manière invariable. Décomposons la force P en trois autres X, Y, Z parallèles à trois axes rectangulaires Ox, Oj, Oz. Soient x = AB, j = OC, z =: OD, les coordonnées du point A.
Appliquons aux points D et O des forces égales et parallèles à X, mais deux à deux de sens contraires. Il en résulte une force X appliquée en O et deux couples (X. — X) appliqués sur BD et OD; le premiercouple peut être transporté parallèlement à luimême dans leplan xOy. Il reste une force X appliquée au point O et un couple (X, — X), ayant OD pour bras de levier et situé dans le plan ^O.r. En opérant delà même manière sur les composantes Y, Z, X', Y', Z', . . . , on ramènera le système proposé à plusieurs forces dirigées suivant les axes et à un certain nombre de couples situés dans les plans coordonnés. En appelant X, J'jZ, les résultantes des forces dirigées suivant les axes et L, M, N les moments résultants obtenus en composant les couples situés dans chacun des plans coordonnés,
on aura
L = Zj — Yz 4- Z'j' —Y'z' + .
M = Xz — Z.r + X'z' — Z'x' + .
E = Y.r — Xj 4- Tx' — X'y -+- .
365. Quand il y a équilibre, la résultante de toutes les forces dirigées suivant le même axe doit être nulle, et le couple résultant de tous les couples situés dans le même plan coordonné doit être aussi nul. Donc les six équations suivantes
iX^o, r-^o, Z — o, ^''' ( L =o, M=o, N = o
auront lieu dans le cas d'un système de forme invariable.
366. On peut mettre ces équations sous une autre forme, en v introduisant les intensités des forces P. P', P", ... ; et les angles «, /3, y, a', ,6', y', . . ., que leurs directions font avec les axes. Les composantes X, Y, Z, X', . . . , sont alors représentées pour la grandeur et pour le signe par Pcosa, P cos|3, Pcosy, P'cosa', . .. On aura donc, au lieu des équations qui précèdent.
Pcosa H- P'cosa' -f- . . . = o, Pcosp -h P'cosp' H- . . ,= o, Pcosy -f- P'cosy' H- . . . = o.
(4) PfjCOSV — 3 ces ,8) H- P' (y COS7' — z' ces 6') ^- . . :-!::: O,
(5) P(zcosa — xcos-/) H- P'(3'cosa' — x' cos'^/ ) ^ . .. j=^ o,
(6) P(j;cos[â — j cosa) + P'(j;'cosp' — j'cosa') + . . , jz: o.
367. Au lieu de décomposer la force P en trois autres X, Y, Z, parallèles aux axes rectangulaires, on peut la
décomposer en deux forces seulement, une force Z parallèle à l'axe O^ et une force Q située dans le plan ABFC perpendiculaire à O^. Abaissons du point F où ce plan coupe l'axe Oz, y/ FH = q perpendiculaire à la
direction de cette force. La longueur cf est la plus courte distance de l'axe Oz à la SiuaM. — Méc, II. a
l'ig. 124.
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l8 COURS DE MÉCANIQUE.
droite AH et aussi à la direction de la force P, puisque O^ est parallèle au plan PAQ. Comme la force Q est la résultante des deux forces X et Y situées dans ce même plan, son moment est égal à la somme algébrique de leurs moments par rapport au point F. On a donc
Pour la force P', on trouverait de même
qq'^Y'x' — mf.
L'équation jN = o prend alors la forme
On aurait des équations de même forme relatives aux deux autres axes.
On appelle moment d'une force par rapport à un axe le produit de la projection de cette force sur un plan perpendiculaire à l'axe multipliée par la plus courte distance entre cet axe et cette projection. On peut donc dire que si un système de forces appliquées à un corps solide est en équilibre, la somme des moments des forces, par j^apport à trois axes rectangulaires menés par un même point, doit être nulle pour chacun de ces axes.
