PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION

641. Dans le mouvement d'un système de corps pour leqnel le principe des forces vives a lieu, si l'on multiplie la vitesse de chaque point du système par sa masse et par l'élément de sa trajectoire, et qu'on intègre la somme de ces produits depuis une position donnée du système jusqu'à une autre position aussi donnée, la valeur de cette

intégrale I \ mvds est généralement un minimum.

Nous disons généralement, parce qu'il y a exception dans

QUARAKTE-KEtJViÈME LEÇON. 233

quelques cas particuliers, mais on démontre que dans tous les cas sa variation est nulle.

Supposons que l'on ait, en conservant les notations du n«6i5,

\ ,mr-= C + ? (.r, y, z, x',. . .),

G = > mlr — (p [a, b, c, a' . . . ). On a

§ lmvds=. \ ^\ m(dsr= j \ mSvds -^ j \ mv^cls.

Oi

m 3(> ds :=:^ m<'§i>dt z= — dc^ S'^ ,

mais

donc

y mSv ds — dty ÇL^x + Y^j + Z(îz).

On a ensuite

yV as l dx , , dy ,^ dz ,^

nw§ds ^- > w — -- dr^x -h-^d3Y + — dSz ^^ Zu "^ \ "■*■ "■ï "•*

V^ /dx ^ dr dz ^ \ •

/Li \dt dt " dt j

ou bien

///(' 6 «5 = > uid — oxH '— ûY ^ o;

^ \ rjf^ dt dt

yl dx ^ dr ^ clz

m Sxd + ù r r/ -^ + 3zd —

onc on aura

^ r V , V fdx ^ dr , dz , J Zu ^ \dt dt -^ dt

234 COXJRS DE MÉCANIQUE.

Mais les deux points extrêmes étant fixes et donnés, dx^ ây, (^z, . , . , , sont nulles aux deux limites. Donc on a bien

ce qu'il fallait démontrer.

Quand les points mobiles ne sont soumis à aucune force, on a

et par suite

et comme l'intégrale I nw'^di --=. l muds est un minimum, il en résulte que t — ^o ou le temps du trajet est aiissi nu

minimum.

C1WQUA2VT1ËME LEÇON. 2^5